冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题:17圆锥曲线的综合应用(含解析).pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 17 圆锥曲线的综合应用专题 17 圆锥曲线的综合应用 【自主热身,归纳总结】【自主热身,归纳总结】 1、已知双曲线y21 的左焦点与抛物线 y212x 的焦点重合,则双曲线的右准线方程为_ x2 a2 【答案】:x8 3 【解析】: 因为抛物线的焦点为(3,0),即为双曲线的左焦点,所以 a2918,所以双曲线的右准 线方程为 x . 8 3 2、若双曲线 x2my21 过点(,2),则该双曲线的虚轴长为_2 【答案】 4 【解析】:将点(,2)代入可得 24m1,即m ,故双曲线的标准方程为1,即虚轴长为 4.2 1 4 x2 1 y2 4
2、 本题易错在两个地方:一是忘记了虚轴的概念;二是没有把双曲线方程化成标准式双曲线的实易错警示 轴长为 2a,虚轴长为 2b,需要记住双曲线的几何性质的研究都需要借助于标准方程才能进行,所以拿到 双曲线方程要先化为标准式 3、在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的离 心率为 【答案】 2 3 3 【解析】焦点在x轴,不妨取焦点坐标为( ,0) c,渐近线方程为b yx a ,即 0bxay,所以焦点到渐近 线距离为 , 则 所以离线率为 42 3 32 3 . 【解题反思】双曲线的焦点到渐近线的距离为短半轴长b,这一点要熟记. 4、 在平面直角坐标系xOy中,
3、抛物线y22px(p0)的焦点为F,双曲线1(a0,b0)的两条渐近线 x2 a2 y2 b2 分别与抛物线交于A,B两点(A,B异于坐标原点O) 若直线AB恰好过点F, 则双曲线的渐近线方程是_ 【答案】: y2x 【解析】 : 由题意得A,B,双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx,不妨设点A ( p 2,p)( p 2,p) x2 a2 y2 b2 b a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 O M N F2F1 y x 在渐近线yx上,则p ,所以 2,于是该双曲线的渐近线方程是y2x. ( p 2,p) b a b a p 2 b a 5、若双曲线的两条渐近线与抛物线 2
4、4yx交于 , ,O P Q三点,且直线PQ经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为 解法 2 2 由题意可得 A(2,0),设 P(a,a2),则 AP 的中点 M,AP,故以 AP 为 ( a2 2 ,a2 2) 2(a2)2 直径的圆 M 的方程为.由题意得圆 C 与圆 M 相切(内切和外切),故 (x a2 2) 2 (y a2 2) 2 ( |a2| 2) 2 ,解得 a 或 a5.故点 P 的横坐标的取值集合为. ( a2 2 2)2 ( a2 2) 2 | 2 |a2| 2| 1 3 1 3,5 在解决与圆相关的综合问题时,需要充分利用圆的几何性质及一些简单的轨迹方程的知识将问题解
5、后反思 转化为直线与圆或圆与圆的问题去处理,另外本题的难点还在于方程的处理 【问题探究,变式训练】【问题探究,变式训练】 例 1、如图,椭圆 22 1 43 xy 的左,右焦点分别为 1 F, 2 F,M,N是椭圆右准线上的两个动点,且 (1)求MN的最小值; (2)以MN为直径的圆C是否过定点?请证明你的结论 解 (1)设 1 (4)My, 2 (4)Ny, 则 11 (5,)FMy , 22 (3,)F Ny , 12 15y y , 又, 当且仅当 1 15y =时,等号成立, 所以MN的最小值为2 15 (2)圆心C的坐标为 12 (4) 2 yy , ,半径 21 2 yy r 圆C
6、的方程为, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 整理得: 12 15y y , 令0y ,得, 所以圆C过定点(415 0), 【变式 1】 、【变式 1】 、 如图,已知圆 22 4xy,直线:4l x ,圆O与x轴交A,B两点,M是圆O上异于A,B的 任意一点,直线AM交直线l于点P,直线BM交直线l于点Q求证:以PQ为直径的圆C过定点,并求出 定点坐标 解 设 ()M st, ,则直线MA方程为,则 6 (4) 2 t P s , 同理: 2 (4) 2 t Q s , 所以以PQ为直径的圆的方程是: 又 22 4st ,所以 令 0y ,42 3x 所以以PQ为直径的圆C过定点
7、为(42 3 0), 【变式 2】 、【变式 2】 、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:1(ab0)的离心率为,椭圆上动点 P 到一个焦点 x2 a2 y2 b2 2 2 的距离的最小值为 3(1)2 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 已知过点 M(0,1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,试判断以线段 AB 为直径的圆是否恒过定点, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 并说明理由 (2) 当直线 l 的斜率不存在时,以 AB 为直径的圆的方程为 x2y29;(7 分) 当直线 l 的斜率为零时,以 AB 为直径的圆的方程为 x2(y1)216.(8 分) 这
8、两圆仅有唯一公共点,也是椭圆的上顶点 D(0,3)猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 D(0,3)(9 分) 证明如下: 证法 1 1(向量法) 设直线 l 的方程为 ykx1, A(x1, y1), B(x2, y2) 只要证x1x2(y13)(y23)DA DB 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 x1x2(kx14)(kx24)0 即可 即要证(1k2)x1x24k(x1x2)160.(11 分)DA DB 由消去 y,得(12k2)x24kx160,16k264(12k2)0,此方程总有两个不等实 ykx1, x22y218,) 根 x1,x2. x1,2,所以 x1x2,x1x
9、2.(14 分) 2k 2 9k24 12k2 4k 12k2 16 12k2 所以(1k2)x1x24k(x1x2)16160.DA DB 16(1k2) 12k2 16k2 12k2 所以 DADB,所以以 AB 为直径的圆恒过定点 D(0,3)(16 分) 证法 2 2(斜率法) 若设 DA,DB 的斜率分别为 k1,k2,只要证 k1k21 即可 设直线 l 的斜率为 ,则. yA1 xA 由点 A 在椭圆 x22y218 上,得 x 2y 18,变形得 ,即 k1 . 2 A2 A yA3 xA yA3 xA 1 2 yA3 xA 1 2 设 yA3m(yA3)n(yA1),可得 m
10、 ,n ,得 k1. 1 2 3 2 yA3 xA 3 2 1 2 从而 k1(3k1)1,即 k 3k110. 2 1 同理 k 3k210,所以 k1,k2是关于 k 的方程 k23k10 的两实根 2 2 由根与系数关系,得 k1k21.所以 DADB,所以以 AB 为直径的圆恒过定点 D(0,3) 【关联 1】 、【关联 1】 、 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E:1(ab0)的离心率为, 左焦点 F(2, 0), x2 a2 y2 b2 2 2 直线 l:yt 与椭圆交于 A,B 两点,M 为椭圆 E 上异于 A,B 的点 (1) 求椭圆 E 的方程; (2) 若
11、 M(,1),以 AB 为直径的圆 P 过点 M,求圆 P 的标准方程;6 (3) 设直线 MA,MB 与 y 轴分别相交于点 C,D,证明:OCOD 为定值 第(2)问要求圆 P 的方程,就是要求得 t 的值,为此,由圆 P 过点 M,可得 MAMB,可用向量或思路分析 斜率关系转化为坐标表示,通过解方程,可得 t 的值 ; 第(3)问的本质就是求点 C,D 的纵坐标,由于点 C,D 随着点 M 的变化而变化,因此以点 M 的坐标为参数,通过设出点 M 的坐标,进而表示出点 C,D 的纵坐标, 通过计算得 OCOD 为定值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【解析】: (1) 因为
12、 e ,且 c2,所以 a2,b2.(2 分) c a 2 2 2 所以椭圆方程为1.(4 分) x2 8 y2 4 (2)设 A(s,t),则 B(s,t),且 s22t28 . 因为以 AB 为直径的圆 P 过点 M,所以 MAMB,所以0,(5 分)MA MB 又(s,t1),(s,t1),所以 6s2(t1)20 .(6 分)MA 6MB 6 由解得 t ,或 t1(舍,因为 M(,1),所以 t0),所以 s2.(7 分) 1 3 6 70 9 又圆 P 的圆心为 AB 的中点(0,t),半径为|s|,(8 分) AB 2 所以圆 P 的标准方程为 x2.(9 分) (y 1 3)
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