(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练:第一部分第二层级重点增分专题十一圆锥曲线的方程与性质讲义理(普通生,含解析).pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷 直线与抛物线的位置关系、平面向量 数量积的运算T8 双 曲 线 的 几 何 性 质T5 双曲线的几何性 质T11 2018 双曲线的几何性质T11 直线的方程及椭圆的 几何性质T12 直线与抛物线的 位置关系T16 直线与抛物线的位置关系、 弦长公式、 基本不等式的应用T102017 双曲线的几何性质T15 双 曲 线 的 几 何 性 质T9 双曲线的渐近线 及标准方程T5 双曲线的几何性质与标准方程T5 2016 抛物线与圆
2、的综合问题T10 双曲线的定义、离心 率问题T11 直线与椭圆的位 置关系、 椭圆的离 心率T11 (1)圆锥曲线的定义、 方程与性质是每年高考必考的内容 以选择题、 填空题的形式考查, 常出现在第412或1516题的位置, 着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程, 难度中等 (2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查, 常作为压轴题出现在第 1920 题的位 置,一般难度较大 保分考点练后讲评考点一圆锥曲线的定义 1.设F1,F2为椭圆1 的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的椭圆的定义 x2 9 y2 5 中点在y轴上,则的值为( ) |PF2| |PF1| A. B. 5 14 5 9
3、 C. D. 4 9 5 13 解析 : 选D 如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OM PF2,可得PF2x轴,|PF2| , |PF1|2a|PF2|,所以 b2 a 5 3 13 3 |PF2| |PF1| . 5 13 2.已知双曲线的虚轴长为 4,离心率e,F1,F2分别是双曲线的左、双曲线的定义 6 2 右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项, 则|AB|等于( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A8 B422 C2 D82 解析:选 A 由题意可知 2b4,e ,于是a2.2|AB|AF
4、2|BF2|, c a 6 2 2 |AB|AF1|BF1|AF2|BF2|,得|AB|AF2|AF1|BF2|BF1|4a8 .2 3.过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点, 若|AF|抛物线的定义 2|BF|6,则p_. 解析:设直线AB的方程为xmy ,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2,将直线AB的 p 2 方程代入抛物线方程得y22pmyp20,所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l, 过A作ACl,垂足为C,过B作BDl,垂足为D,因为|AF|2|BF|6,根据抛物线的定 义知,|AF|AC|x1 6,|BF|BD|x2 3,所以x
5、1x23,x1x29p,所 p 2 p 2 以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2,即 18p720,解得p4. 答案:4 解题方略 圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|); (3)抛物线:|MF|d(d为M点到准线的距离) 注意 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误. 圆锥曲线的标准方程 保分考点练后讲评考点二 大稳定常规角度考双基 1.已知双曲线1(a0,b0)的焦距为 4,渐近线方程为双曲线的标准方程 x2 a2 y2 b2 5 2xy0,则双曲线的方程为( ) A.1 B.
6、1 x2 4 y2 16 x2 16 y2 4 C.1 D.1 x2 16 y2 64 x2 64 y2 16 解析:选 A 易知双曲线1(a0,b0)的焦点在x轴上,所以由渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 2xy0, 得 2, 因为双曲线的焦距为 4, 所以c2.结合c2a2b2, 可得a2,b4, b a 55 所以双曲线的方程为1. x2 4 y2 16 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.若椭圆的中心为坐标原点, 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三椭圆的标准方程 角形,且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为,则椭圆的标准方程为_3 解析:设长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距
7、为c, 由已知得Error!又a2b2c2,Error! 椭圆的标准方程为1 或1. x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 答案:1 或1 x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 3.若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离抛物线的标准方程 分别为 10 和 6,则抛物线的标准方程为_ 解析:因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为 6, 若设该点为P,则P(x0,6) 因为P到抛物线焦点F的距离为 10, ( p 2,0) 根据抛物线的定义得x0 10. p 2 因为P在抛物线上,所以 362px0. 由解得p2,x09 或p18,x01, 所以
8、抛物线的标准方程为y24x或y236x. 答案:y24x或y236x 解题方略 求解圆锥曲线标准方程的思路 定型就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程 计算 即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线 常设为y22ax或x22ay(a0),椭圆常设为mx2ny21(m0,n0),双曲线常 设为mx2ny21(mn0) 小创新变换角度考迁移 1.已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F,点B是虚双曲线与向量交汇 x2 a2 y2 b2 轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若2,且|4,则双曲BA AF BF 线C的方程为(
9、) A.1 B.1 x2 6 y2 5 x2 8 y2 12 C.1 D.1 x2 8 y2 4 x2 4 y2 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:选 D 不妨设B(0,b),由2,F(c,0),可得A,代入双曲线CBA AF ( 2c 3 ,b 3) 的方程可得 1, 4 9 c2 a2 1 9 . b2 a2 3 2 又|4,c2a2b2,BF b2c2 a22b216. 由可得,a24,b26, 双曲线C的方程为1. x2 4 y2 6 2.抛物线有如下光学性质 : 由焦点射出的光线经抛物线反抛物线在物理知识中的创新 射后平行于抛物线的对称轴 ; 反之,平行于抛物线对
10、称轴的入射光线经抛物线反射后必经过 抛物线的焦点若抛物线y24x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过 抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为( ) A. B 4 3 4 3 C D 4 3 16 9 解析:选 B 将y1 代入y24x,可得x ,即A.由抛物线的光学性质可知, 1 4( 1 4,1) 直线AB过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率k . 10 1 41 4 3 3.如图, 记椭圆1,1 内部重椭圆中的创新 x2 25 y2 9 y2 25 x2 9 叠区域的边界为曲线C,P是曲线C上的任意一点,给出下列四个 命题: P到F1(4
11、,0),F2(4,0),E1(0,4),E2(0,4)四点的距 离之和为定值; 曲线C关于直线yx,yx均对称; 曲线C所围区域的面积必小于 36; 曲线C的总长度不大于 6. 其中正确命题的序号为_ 解析 : 对于,若点P在椭圆1 上,则P到F1(4,0),F2(4,0)两点的距离之 x2 25 y2 9 和为定值,到E1(0,4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值,故错;对于,联立两个 椭圆的方程Error!得y2x2,结合椭圆的对称性知,曲线C关于直线yx,yx均对称, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故正确 ; 对于,曲线C所围区域在边长为 6 的正方形内部,所以其面积
12、必小于 36,故 正确 ; 对于,曲线C所围区域的内切圆为半径为 3 的圆,所以曲线C的总长度必大于圆的 周长 6,故错所以正确命题的序号为. 答案: 增分考点深度精研考点三圆锥曲线的几何性质 析母题高考年年“神”相似 典例 (1)(2018全国卷)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的左、 右焦点,A x2 a2 y2 b2 是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120 , 3 6 则C的离心率为( ) A. B. 2 3 1 2 C. D. 1 3 1 4 (2)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分 x2 a2 y2
13、 b2 别交于A,B两点,O为坐标原点若双曲线的离心率为,AOB的面积为 2,则p( )5 A2 B1 C2 D33 (3)已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲 x2 a2 y2 b2 线的右支交于A,B两点,若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2(e为双曲线 离心率)的值为_ 解析 (1)如图,作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2, 则c1.由F1F2P120 ,可得|PB|,|BF2|1,故|AB|a11a3 2, tan PAB, 解得a4,所以e . |PB| |AB| 3 a2 3 6 c a 1 4 (2)不妨设A点在
14、B点上方,由双曲线的离心率为, 得 15 b2 a2 e25,解得 2,所 以双曲线的两条渐近线方程为yx2x.又抛物线的准线方程为x b a b a ,则交点的坐标为A,B,所以|AB|2p.由AOB的面积为 2,得 p 2( p 2,p)( p 2,p) 1 2 |AB| 2,即 2p 2,解得p2,故选 A. p 2 1 2 p 2 (3)如图所示,因为|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,|AF1| |AF2|BF2|, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以|BF2|2a,|BF1|4a. 所以|AF1|2a,2 |AF2|2a2a.2 因为|F1F2|2|AF1
15、|2|AF2|2, 所以(2c)2(2a)2(2a2a)2,22 所以e252.2 答案 (1)D (2)A (3)52 2 练子题高考年年“形”不同 1本例(3)若变为:已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2 x2 a2 y2 b2 的直线与椭圆交于A,B两点, 若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 则e2_. 解析:设|F1F2|2c,|AF1|m, 因为F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形, 所以|AB|AF1|m,|BF1|m.2 由椭圆的定义可知F1AB的周长为 4a, 所以 4a2mm,即m2(2)a.22 所以|AF2|2am(22)a.2 因为|
16、AF1|2|AF2|2|F1F2|2, 所以 4(2)2a24(1)2a24c2,22 所以e296.2 答案:96 2 2本例(3)若变为:F1,F2为双曲线的两个焦点,点A在双曲线上,且AF2F1为等腰 直角三角形,则双曲线的离心率为_ 解析:注意到|F2A|F1A|, 不妨设|F2A|F1A|. 因为AF2F1为等腰直角三角形, 则|F2A|F1F2|F1A|11.2 所以e 1. c a |F1F2| |F2A|F1A| 1 21 2 答案:12 3本例(3)中,若双曲线上存在一点P,使得 ,求双曲线离心率的取值 sinPF1F2 sinPF2F1 a c 范围 解:如图所示, 由Er
17、ror! 得|PF1|, 2ac ca 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 且|PF2|. 2a2 ca 又由|PF1|ac,可得ac,即e22e10, 2ac ca 解得 1e1,又因为e1,所以双曲线离心率的取值范围为(1,1222 解题方略 1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关 系或不等关系,然后把b用a,c代换,求 的值 c a 2双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法:把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零,分解因式可得 (2)用法:可得 或 的值 b a a b 利用渐近线方程设所求双曲线的方
18、程 多练强化 1(2018全国卷)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为 x2 a2 y2 b2 3 ( ) Ayx Byx23 Cyx Dyx 2 2 3 2 解析:选 A e , c a a2b2 a 3 a2b23a2,ba.2 渐近线方程为yx.2 2(2018阜阳模拟)已知F1,F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点,若椭 x2 a2 y2 b2 圆上存在点P使得PF1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. 5 5 ,1) 2 2 ,1) C. D. (0, 5 5(0, 2 2 解析:选 B F1,F2是椭圆1(a0,b0)的左、右两个焦点, x2 a2
19、 y2 b2 F1(c,0),F2(c,0),c2a2b2. 设点P(x,y),由PF1PF2,得(xc,y)(xc,y)0,化简得x2y2c2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 联立方程组Error!整理得,x2(2c2a2)0,解得e. a2 c2 2 2 又 0e1,e1. 2 2 3 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点, 交C的准线于D,E两点 已知|AB|4 ,|DE|2,则C的焦点到准线的距离为( )25 A2 B4 C6 D8 解析:选 B 设抛物线的方程为y22px(p0),圆的方程为x2y2r2. |AB|4,|DE|2,25 抛物线的准线方程为x , p
20、 2 不妨设A,D. ( 4 p,2 2)( p 2 , 5 ) 点A,D在圆x2y2r2上, ( 4 p,2 2)( p 2 , 5 ) Error!85,p4(负值舍去) 16 p2 p2 4 C的焦点到准线的距离为 4. 4(2018惠州调研)已知F1,F2是双曲线1(a0,b0)的两个焦点,过其中一 y2 a2 x2 b2 个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段 F1F2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是_ 解析 : 如图, 不妨设F1(0,c),F2(0, c), 则过点F1与渐近线yx a b 平行的直线为yxc, 联立Error! a
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