(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练:第二部分备考技法专题二4大数学思想系统归纳——统一统思想讲义理(普通生,含解析).pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳统一统思想备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳统一统思想 第 1 讲 函数与方程思想 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想,是 从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方 程与不等式的混合组),然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解方程是从算术方法 到代数方法的一种质的飞跃,有时,还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到解决问题的 目的 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性 质,解决有关求值、解(证明
2、)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题 ; 二是在问题的研 究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易、化繁为简的目的 应用(一) 借助“显化函数关系” ,利用函数思想解决问题 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显出 来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解 例 1 已知数列an是各项均为正数的等差数列,a12, 且a2,a3,a41 成等比数列 (1)求数列an的通项公式an; (2)设数列an的前n项和为Sn,bn,若对任意的nN*,不等式 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n bnk恒成立,
3、求实数k的最小值 解 (1)因为a12,aa2(a41), 2 3 又因为an是正项等差数列,所以公差d0, 所以(22d)2(2d)(33d), 解得d2 或d1(舍去), 所以数列an的通项公式an2n. (2)由(1)知Snn(n1), 则bn 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n 1 n1n2 1 n2n3 1 2n2n1 1 n1 1 n2 1 n2 1 n3 1 2n 1 2n1 1 n1 1 2n1 n 2n23n1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 , 1 2n1 n3 令f(x)2x (x1), 1 x 则f(x)2, 1 x2 当x1 时,f(x)0 恒成立, 所以
4、f(x)在1,)上是增函数, 故当x1 时,f(x)minf(1)3, 即当n1 时,(bn)max , 1 6 要使对任意的正整数n,不等式bnk恒成立, 则需使k(bn)max , 1 6 所以实数k的最小值为 . 1 6 技法领悟 数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式,前n项和公式都具 有隐含的函数关系,都可以看成关于n的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意识地 凸现其函数关系,从而用函数思想或函数方法研究、解决问题 ,不仅能获得简便的解法, 而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 应用体验 1已知等差数列an满足 3a47a7,a10,Sn是数列an的前
5、n项和,则Sn取得最大 值时n_. 解析 : 设等差数列an的公差为d,3a47a7,3(a13d)7(a16d),4a133d. a10,d, 2 3 2 0, 3 3 1 tan A 3 2, c a 1 2 3 2 3 即 2. c a 答案: (2,) 3 应用(二) 转换“函数关系” ,利用函数思想解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、 恒成立问题中, 经常需要求参数的取 值范围,如果按照原有的函数关系很难奏效时,不妨转换思维角度,放弃题设的主参限制, 挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,切入问题本质,从而使原问题获解 例 2 已知函数f(x)lg,其中a为
6、常数,若当x(,1时,f(x) 12x4xa a2a1 有意义,则实数a的取值范围为_ 解析 参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于a的不等式 (组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把a分离出来,重新认识a与其他变元x 的依存关系,利用新的函数关系,使原问题“柳暗花明” 由0,且a2a1 2 0, 12x4xa a2a1(a 1 2) 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 得 12x4xa0,故a. ( 1 4x 1 2x) 当x(,1时,y与y都是减函数, 1 4x 1 2x 因此,函数y在(,1上是增函数, ( 1 4x 1 2x) 所以 max ,
7、a , ( 1 4x 1 2x) 3 4 3 4 故a的取值范围是. ( 3 4,) 答案 (3 4,) 技法领悟 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为主,主客换位, 创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后,利用新建函数y的单调性巧妙地求出实数a的取值范 1 4x 1 2x 围此法也叫主元法 应用体验 3对于满足 0p4 的所有实数p,使不等式x2px4xp3 成立的x的取值范围 是_ 解析:设f(p)(x1)px24x3, 则当x1 时,f(p)0. 所以x1. 函数f(p)在0,4上恒为正,等价于Error!
8、 即Error!解得x3 或x0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1y2, 则y1y2,y1y2, 2m m24 3 m24 所以|y2y1|, 4m23 m24 所以SAOB |OE|y2y1|. 1 2 2m23 m24 2 m23 1 m23 设t,则g(t)t ,t,m23 1 t 3 所以g(t)10, 1 t2 所以g(t)在区间,)上为增函数,3 所以g(t),所以SAOB,当且仅当m0 时等号成立 4 3 3 3 2 所以AOB的面积存在最大值,为. 3 2 应用(三) 构造“函数关系” ,利用函数思想解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中,将非函数问题的
9、条件或结论,通过类比、联 想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此基础上利用函数思想和方法使原问题获 解,这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是,构造时,要深入审题,充分发 掘题设中可类比、联想的因素,促进思维迁移 例 3 已知函数f(x)ex2x2a,xR,aR. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当aln 21 且x0 时,exx22ax1. 解 (1)由f(x)ex2x2a,知f(x)ex2. 令f(x)0,得xln 2. 当xln 2 时,f(x)0,故函数f(x)在区间(ln 2,)上单调递增 所以f(x)的单调递减区间是(, ln 2), 单调递增区间是
10、(ln 2, ),f(x)在xln 2 处取得极小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a. (2)证明:设g(x)exx22ax1(x0), 则g(x)ex2x2a, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a. 又aln 21,则g(x)min0. 于是对xR,都有g(x)0,所以g(x)在 R 上单调递增 于是对x0,都有g(x)g(0)0. 即 exx22ax10,故 exx22ax1. 技法领悟 一般地,要证f(x)g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)f(x)g(x),通 过分析F(x)在端点处
11、的函数值来证明不等式若F(a)0,只需证明F(x)在(a,b)上单调 递增即可;若F(b)0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可 应用体验 5.(2018天津高考)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD 120 ,ABAD1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为( )AE BE A. B. 21 16 3 2 C. D3 25 16 解析:选 A 如图,以D为坐标原点建立平面直角坐标系,连接AC. 由题意知CADCAB60 ,ACDACB30 , 则D(0,0),A(1,0),B, ( 3 2, 3 2) C(0,)设E(0,y)(0y),33 则(1,y),AE B
12、E ( 3 2,y 3 2) y2y 2 ,AE BE 3 2 3 2(y 3 4) 21 16 当y时,有最小值. 3 4 AE BE 21 16 6 设函数f(x)在 R 上存在导函数f(x), 对于任意的实数x, 都有f(x)f(x)2x2, 当xh(1)3, 即a 2b的取值范围是(3, )故选 C. 答案 (1)(1,3) (2)C 技法领悟 本例(1)中有一条明显的“动态”水平直线,通过上下移动观察其与函数图象的交点情 况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来,如本例(2),实际上存在一条“虚拟”的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 水平直线,这一点固然重要,却不是本题的
13、关键本题的关键在于水平直线与函数图象的两 个交点的横坐标并非毫无关联,而是满足一定的关系,即ab1,这一关键之处决定了该类 型题目的难度和极易出错的特性 在此,务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系比如,一条水平 直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值,且为对称轴的两倍 ; 一条水平直线穿三角 函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性,等等 应用体验 1已知f(x)|x|x1|,若g(x)f(x)a的零点个数不为 0,则a的最小值为 _ 解析:原方程等价于f(x)Error!其图象如图所示,要使af(x)有 零点,则a1,因此a的最小值为 1. 答案:1 2已知函数f(x)s
14、in的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x)的 (2x 3) 4 图象向右平移个单位后, 再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍, 得到g(x)的图象, 若g(x) 8 k0 在x上有且只有一个实数根,则k的取值范围是( ) 0, 2 A. B. (, 1 21, 1 2) C. D.1 ( 1 2, 1 2( 1 2, 1 2 解析:选 D 因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为, 4 结合三角函数的图象可知 , T 2 4 所以T, 2 2 2 所以2,f(x)sin. (4x 3) 将f(x)的图象向右平移个单位得到 8 f(x)sin4sin, (x 8) 3(4x 6) 再将所有点的
15、横坐标伸长为原来的 2 倍,得到g(x)sin. (2x 6) 所以方程为 sink0. (2x 6) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 令 2xt,因为x,所以t. 60, 2 6 5 6 若g(x)k0 在x上有且只有一个实数根, 0, 2 即ysin t与yk在上有且只有一个交点 6 ,5 6 作出ysin t与yk的图象如图所示,由正弦函数的图象可知 1 2 k . 1 4 所以k的取值范围为. ( 1 4,) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:(1 4,) 应用(二) 利用数形结合求解kxbf(x)型问题 方法一:旋转动直线 若直线的斜率在变化,则这样的直线
16、往往都恒过某一个定点,对于这类型的题,首先找 出这个定点非常关键,然后确定相应的临界情形,最后考虑旋转的方向 例 3 (1)已知函数f(x)|x2|1,g(x)kx,若f(x)g(x)有两个不相等的实 根,则实数k的取值范围是( ) A. B. (0, 1 2)( 1 2,1) C(1,2) D(2,) (2)(2018天津高考)已知a0,函数f(x)Error!若关于x的方程f(x)ax恰有 2 个互异的实数解,则a的取值范围是_ 解析 (1)由题意得函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有两 个不同的交点, 分别画出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所 示 直线g(x)kx过原点这个定点
17、, 寻找临界点, 当直线过点(2,1)时, 直线与函数f(x)|x2|1 只有一个交点,此时k ,然 10 20 1 2 后直线绕着原点逆时针旋转,当与yf(x)在x2 时的图象平行时,就只有一个交点, 所以 |xa|至少有一个负数解,则a的取值范围是_ 解析 (1)画出函数yf(x)的图象,如图所示,yxa是斜率恒 为 1 的动直线, 首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置), 此时直 线刚好与yf(x)的图象有两个交点,将直线往下平移会有三个交点,一 直平移直到与yf(x),x0,1相切, 此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 一
18、点), 此时联立Error!x2xa0,14a0a ,所以在一个周期内得到满足条 1 4 件的a的值为a0 或a ,又因为周期为 2,所以a2k或a 2k(kZ) 1 4 1 4 (2)令f(x)2x2,g(x)|xa|, 由于g(x)|xa|的图象是 V 形首先将这个 V 形 的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置, 该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不 成立的位置,然后再平移),此时a2.然后再将 V 形尖点向左平移,即如图中的箭头所 示由图可知,向左平移的临界情况是 V 形尖点右支与f(x)相切,此时联立Error!知x2xa2 0 有一个解,14(2a)0a .要特别注意,此
19、时g(x)|xa|的图象与 9 4 f(x)2x2的图象相切,但不等式取不到等号,因此a ,注意到a2 时无负数根, 9 4 因此a的取值范围为. ( 9 4,2) 答案 (1)D (2)(9 4,2) 技法领悟 对于平移动直线情形, 关键在于如何选取初始位置(临界情形), 这个难把握之处正是本 块内容的核心,初始位置的选取并非信手拈来,而是有根有据的,通过本例中的两个题目, 仔细体会 应用体验 7 已知函数f(x)Error!且关于x的方程f(x)xa0 有且只有一个实根, 则实数a 的取值范围为( ) A(1,) B(1,3) C(,1) D(2,4) 解析:选 A 画出f(x)图象,如图
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