(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练:第二部分第一板块学通考场解题常用12术——解得快讲义理(重点生,含解析).pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第一板块 学通考场解题常用 12 术解得快第一板块 学通考场解题常用 12 术解得快 第 1 术 抛砖引玉 活用特例 方法 概述 所谓特例法,又叫特殊化法,就是当我们面临一道难以入手的一般性题目时,可以 从一般退到特殊,先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题,以便从特 殊问题的研究中,拓宽解题思路,发现解答原题的方向或途径 应用 题型 (1)选择题或填空题;(2)在解答题中,当求解目标尚未明确时,往往需要考查题设 条件中所含参变因素的某些特殊情况或极端情况 方法一:取特殊数值 设f (x)Error!若f (x0)3,则x0的取值范围为( )
2、例1 A(,0)(2,) B(0,2) C(,1)(3,) D(1,3) 常规解法 当x02 时,log24(x01)3, 即 log24log2(x01)3,log2(x01)1, x012,即x03. 当x03,即x02,x03 或x01 时,f (x)x1; 当x0),g(x) (x0)都是“影子函数” ,但F(x)f (x)g(x) 1 x 1(x0)不是“影子函数”(因为对任意的x1(0,),存在无数多个x2(0,),使 得F(x1)F(x2)1),所以错误 答案 B 方法四:取特殊位置 已知E为ABC的重心,AD为BC边上的中线, 过点E的直线分别交AB,AC于P, Q例6 两点,
3、且m,n,则 ( )AP AB AQ AC 1 m 1 n A3 B4 C5 D.1 3 常规解法 分别过点B,C作BMAD,CNAD,分别交PQ 于点M,N. D是BC的中点, DE是梯形CNMB的中位线 又m,n,AP AB AQ AC m,n, | | | | 1 m 1 n | | | | |AP|BP| |AP| |AQ|QC| |AQ| 112 |BP| |AP| |QC| |AQ| |BP| |AP| |QC| |AQ| 22 |BM| |AE| |CN| |AE| |BM|CN| |AE| 22213. 2|DE| |AE| |AE| |AE| 高清试卷 下载可打印 高清试卷
4、下载可打印 提速解法 由于直线PQ 是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值故可利用特殊直 线确定所求值 法一:如图(1),令PQBC, 则,此时,mn ,AP 2 3 AB AQ 2 3 AC 2 3 故 3. 1 m 1 n 法二 : 如图(2), 直线BE与直线PQ 重合, 此时, 故m1,nAP AB AQ 1 2 AC ,所以 3. 1 2 1 m 1 n 答案 A 如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中, 侧棱A1A和B1B上各有一动点P, Q 满足A1PBQ,例7 过P,Q,C三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( ) A31 B21 C41 D.13 常规解法 设三
5、棱柱ABCA1B1C1的体积为V, 侧棱AA1和BB1上各有一动点P,Q 满足A1PBQ, 四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等, 故四棱锥CPQBA的体积等于三棱锥CABA1的体积,等于V, 1 3 则几何体CPQC1B1A1的体积等于V, 2 3 故过P,Q,C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为 21. 提速解法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将P,Q 置于特殊位置:PA1,QB, 此时仍满足条件A1PBQ(0), 则有VCAA1BVA1ABCVABCA1B1C1. 1 3 因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为 21. 答案 B 方法五:取特殊图
6、形 AD,BE分别是ABC的中线,若|1,且与的夹角为例8AD BE AD BE 120,则AB AC _. 常规解法 由已知得Error! 解得Error! 所以 |2 |2 .AB AC 8 9 AD 4 9 BE 4 9 AD BE 2 3 提速解法 若ABC为等边三角形,则|,AB 2 3 3 |cos 60 .AB AC AB AC 2 3 答案 2 3 即时应用体验 1动点A在双曲线1 上,B,C为其左、右焦点在ABC中,角A,B,C的对 x2 m2 y2 n2 边分别是a,b,c,且a10,cb6,则 tan tan ( ) B 2 C 2 A. B. 1 4 1 2 C. D1
7、 3 4 解析:选 A 由题意得双曲线的方程为1,取特殊位置ACBC,可得C, x2 9 y2 16 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则a2b2(6b)2,解得b,故 tan B,则 tan , 16 3 8 15 B 2 1 4 所以 tan tan . B 2 C 2 1 4 2若f (x)和g(x)都是定义在实数集 R 上的函数,且方程xf g(x)0 有实数解, 则gf (x)的解析式不可能是( ) Ayx2x Byx2x 1 5 1 5 Cyx2 Dyx2 1 5 1 5 解析 : 选 B 法一 : 设x0为方程xf g(x)0 的一个实根, 则f g(x0)x0.设
8、 g(x0)t0, 则f (t0)x0.所以g(x0)gf (t0)t0, 即gf (t0)t00, 这说明方程 gf (x)x0 至少有一个实根t0, 而对于选项 B, 当gf (x)x2x 时, 方程x2x 1 5 x无实根,故选 B. 1 5 法二:取特殊函数法令f (x)x,即可把原题改写为xg(x)0 有实数解,g(x)不 可能是哪个代数式A、C、D 均可使xg(x)0 有实数解,只有 B 不能使xg(x)0 有实 数解,故选 B. 3设f (x)Error!则使所有x均满足不等式xf (x)g(x)的函数g(x)为( ) Asin x Bx Cx2 D|x| 解析 : 选 D 若g
9、(x)sin x,应有xf (x)sin x,取x2,则f (x)1,于是 20,则h(x)单调递增; 当x1 时,h(x)2 时,h(x)(x2)ex, h(x)ex(x1)0. 则h(x)在(2, )上单调递增,画出函数h(x)的大致图象如 图所示 故方程f (x)g(x)有六个不等的实数解等价于直线ym1,y m2与曲线h(x)|x2|ex各有三个交点 由图知,则需 0 . 7 4 (xa)2y21,y21. 同理,x21. x2y22. 由可知: 0,b0)的左焦点F(c,0)(c0),作圆x2y2的切线, x2 a2 y2 b2 a2 4 切点为E, 延长FE交双曲线右支于点P, 若
10、 ( ), 则双曲线的离心率为OE 1 2 OF OP ( ) A. B. 10 2 10 5 C. D.102 解析:选 A 由题意可知E为FP的中点,且OEFP.记F为 双曲线的右焦点,作出示意图如图所示,连接FP,则FP綊 2OE, 且FPFP,所以 |FP|a,由双曲线的定义可得 |FP|3a. 又FPFP,可得(2c)210a2,所以e . c a 10 2 4已知a0,b0,则不等式a b的解是( ) 1 x A.B. ( 1 a, 1 b)( 1 a, 1 b) C.D. ( 1 b,0) ( 1 a,)(, 1 b) ( 1 a,) 解析:选 D 法一:直接求解法 b ,故选
11、D. 1 x 1 b 1 a 法二:数形结合法利用y 的图象,如图所示,故选 D. 1 x 5已知关于x的方程|x|ax1 有一个负根,但没有正根,则实数a的取值范围是 _ 解析 : 在同一平面直角坐标系中分别作出y|x|,yax1,yx 1 的图象由图可知,当直线yax1 的斜率a1 时, 直线yax1 与y|x|的图象有且仅有y轴左侧一个交点,即|x|ax1 有一个 负根,但没有正根 答案:1,) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6 已知a,b为单位向量,ab0, 若向量c满足|cab|1, 则|c|的取值范围是 _ 解析:令a,b,ab,c,OA OB OD OC 如图所示,
12、则|,OD 2 又|cab|1, 所以点C在以点D为圆心、半径为 1 的圆上, 易知点C与O,D共线时|取到最值,最大值为1,最小值为1,OC 22 所以|c|的取值范围为1,122 答案:1,122 第 3 术 解题常招 设参换元 方法 概述 在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另 一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目 的条件,或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化, 从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路这 种通过换元改变式子形式来变换研究对象, 将问题移至新对象的
13、知识背景中去考查、 探究解题思路的做法,就是设参换元法,也就是我们常说的换元法 应用 题型 此方法既适用选择题、填空题,也适用于解答题,多在研究方程、不等式、函数、 三角、解析几何中广泛应用 方法一:三角换元 已知x,yR, 满足x22xy4y26, 则zx24y2的取值范围为_例1 常规解法 由x22xy4y26, 得 2xy6(x24y2), 而 2xy, x24y2 2 所以 6(x24y2), x24y2 2 所以x24y24,当且仅当x2y时,取等号 又因为(x2y)262xy0,即 2xy6, 所以zx24y262xy12, 综上可得 4x24y212. 高清试卷 下载可打印 高清
14、试卷 下载可打印 提速解法 已知x22xy4y26, 即(xy)2(y)2()2,36 故设xycos ,ysin ,636 即xcos sin ,ysin .622 则zx24y262xy62(cos sin )sin 84sin.622 (2 6) 所以 84z84, 即z的取值范围为4,12 答案 4,12 方法二:比值换元 设x,y,z满足关系x1,则x2y2z2的最小值为_例2 y1 2 z2 3 解析 令x1k, 则x1k,y12k,z23k, 即xk1,y2k y1 2 z2 3 1,z3k2. x2y2z2(k1)2(2k1)2(3k2)214k210k614 2 . (k 5
15、 14) 59 14 当k,即x,y,z时,x2y2z2取最小值. 5 14 9 14 12 7 13 14 59 14 答案 59 14 方法三:整体换元 如图,已知椭圆C的离心率为,点A,B,F分别例3 3 2 为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且SABF1. 3 2 (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:ykxm与圆O:x2y21 相切,若直线l与椭圆C交于M,N两点, 求OMN面积的最大值 解 (1)由已知得椭圆的焦点在x轴上,设其方程为1(ab0), x2 a2 y2 b2 则A(a,0),B(0,b),F(c,0)(c)a2b2 由已知可得e2 , a2b2 a2 3 4 高清试
16、卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以a24b2,即a2b,故cb.3 又SABF |AF|OB| (ac)b1. 1 2 1 2 3 2 所以b1,a2,c.3 所以椭圆C的方程为y21. x2 4 (2)圆O的圆心为坐标原点, 半径r1, 由直线l:ykxm, 即kxym0与圆O:x2 y21 相切,得1,故有m21k2. |m| 1k2 由Error! 消去y得(4k21)x28kmx4m240. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1x2,x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 所以|x1x2|2(x1x2)24x1x2 24 ( 8km 4k21) 4m24 4
17、k21 . 164k2m21 4k212 将代入,得|x1x2|2, 48k2 4k212 故|x1x2|. 4 3|k| 4k21 所以|MN|x1x2|.1k21k2 4 3|k| 4k21 4 3 k2k21 4k21 故OMN的面积S |MN|1. 1 2 2 3 k2k21 4k21 令t4k21(t1),则k2,代入上式, t1 4 得S2 3 t1 4( t1 4 1) t2 3 2 t1t3 t2 , 3 2 1 t2 2 3t 1 3 3 2 (1 t 1 3) 24 9 所以当t3,即 4k213,解得k时,S取得最大值,且最大值为 1. 2 2 3 2 4 9 方法四:局
18、部换元 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设对一切实数x, 不等式x2log22xlog2log20 恒成例4 4a1 a 2a a1 a12 4a2 立,则a的取值范围为_ 解析 注意到 log2和 log2及 log2之间的关系,换元化为一 4a1 a 2a a1 a12 4a2 元二次不等式在 R 上恒成立问题 设 log2t,tR, 2a a1 则 log2log23log23log23t,log2 4a1 a 8a1 2a a1 2a 2a a1 a12 4a2 2log22t. a1 2a 原不等式可化为(3t)x22tx2t0,它对一切实数x恒成立, 所以Error!解
19、得Error! t1), 则例5 loga(uv)的最大值和最小值分别为_,_. 解析 令xlogau,ylogav,则x0,y0.已知等式可化为(x1)2(y1)2 4(x0,y0)再设tloga(uv)xy(x0,y0),由图可知,当线段yx t(x0,y0)与圆弧(x1)2(y1)24(x0,y0)相切时(图中CD 位置), 截距t取最大值,tmax22;当线段端点是圆弧端点时 (图中AB2 位置), 截距t取最小值,tmin1.因此loga(uv)的最大值是22,32 最小值是 1.3 答案 22 123 提醒 利用两次换元探究动点的轨迹方程, 数形结合使问题变得直观 换元中应注意 旧
20、变量对新变量的限制 即时应用体验 1椭圆1 的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A,B,当FAB的周长最 x2 4 y2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 大时,FAB的面积为_ 解析:已知1,则F(1,0) x2 4 y2 3 设A(2cos ,sin ),B(2cos ,sin ),33 则|AF|BF|2cos ,2cos 123sin2 故FAB的周长l2(2cos )2sin 44sin.3 ( 6) 当时,l取得最大值,此时FAB的面积为 3 S (12cos )2sin sin (12cos )3. 1 2 33 答案:3 2不等式 log2(2x1)log2(2x
21、12)0, ( 2 , 2) 则f (x), ( 4) 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又x, ( 2 , 2) 所以n Bm2 Dm,n的大小关系不确定 1 n 解析 由不等式可得0, 故函数f (x)在(2,e)上单调递增 因为f (n) ,则事件A发生的概率为( ) 1 4 A. B1 16 16 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C. D1 4 4 解析 由题意知, 计算机产生的 01 之间的均匀随机数a,b的对应 区域是边长为 1 的正方形,面积为 1;事件A对应的区域是边长为 1 的正方 形减去四分之一的圆圆心为(1,1),半径为 ,如图所示,则事件A对应
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