(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练:第二部分第二板块贯通4大数学思想——解得稳讲义理(重点生,含解析).pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二板块贯通 4 大数学思想解得稳第二板块贯通 4 大数学思想解得稳 思想(一) 函数方程 稳妥实用 函数与方程思想的概念函数与方程思想的应用 函数思想是指用函数的概念和性质去分 析问题、转化问题和解决问题方程思想, 是从问题的数量关系入手,运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式 或方程与不等式的混合组),然后通过解方程 (组)或不等式(组)来使问题获解方程是从 算术方法到代数方法的一种质的飞跃,有时, 还可以将函数与方程互相转化、接轨,达到 解决问题的目的. 函数与方程思想在解题中的应用主要表 现在两个方面:一是借助有关初等函数的
2、性 质,解决有关求值、解(证明)不等式、解方 程以及讨论参数的取值等问题;二是在问题 的研究中,通过建立函数关系式或构造中间 函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有 关性质,达到化难为易、化繁为简的目的. 借助“显化函数关系” ,利用函数思想解决问题 在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显出 来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解 已知数列an是各项均为正数的等差数列,a12, 且a2,a3,a41 成等比数列例1 (1)求数列an的通项公式an; (2)设数列an的前n项和为Sn,bn,若对任意的nN*,不等式 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n
3、 bnk恒成立,求实数k的最小值 解 (1)因为a12,aa2(a41), 2 3 又因为an是正项等差数列,所以公差d0, 所以(22d)2(2d)(33d), 解得d2 或d1(舍去), 所以数列an的通项公式an2n. (2)由(1)知Snn(n1), 则bn 1 Sn1 1 Sn2 1 S2n 1 n1n2 1 n2n3 1 2n2n1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 n1 1 n2 1 n2 1 n3 1 2n 1 2n1 . 1 n1 1 2n1 n 2n23n1 1 2n1 n3 令f (x)2x (x1),则f (x)2, 1 x 1 x2 当x1 时,f (x
4、)0 恒成立, 所以f (x)在1,)上是增函数, 故当x1 时,f (x)minf (1)3, 即当n1 时,(bn)max , 1 6 要使对任意的正整数n,不等式bnk恒成立, 则需使k(bn)max , 1 6 所以实数k的最小值为 . 1 6 技法领悟 数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式、前n项和公式都具 有隐含的函数关系,都可以看成关于n的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意识地 凸现其函数关系,用函数思想或函数方法研究、解决问题 ,不仅能获得简便的解法,而且 能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 应用体验 1 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半
5、径为 3 的球面上, 当正棱柱的体积取最大值时, 其高的值为( ) A3 B.33 C2 D263 解析:选 D 设正六棱柱的底面边长为a,高为h,则可得a29,即a29, h2 4 h2 4 那么正六棱柱的体积Vhh. (6 3 4 a2) 3 3 2(9 h2 4) 3 3 2( h3 4 9h) 令y9h,则y9, h3 4 3h2 4 令y0,解得h2.易知当h2时,y取最大值,即正六棱柱的体积最大33 2 设等差数列an的前n项和为Sn, 已知a312,S120,S130. S1313a178d15652d0,所以d3. 24 7 Snna1ddn2n, nn1 2 1 2(12 5
6、 2d) 由d0,Sn是关于n的二次函数,知对称轴方程为n . 5 2 12 d 又由d3,得 6 , 24 7 5 2 12 d 13 2 所以当n6 时,Sn最大 答案:S6 3满足条件AB2,ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_2 解析:可设BCx,则ACx,根据面积公式得2 SABCABBCsin Bx. 1 2 1cos2B 由余弦定理得 cos B. x222 2x2 22x 4x2 4x 则SABCx .1(4x 2 4x) 2 128x2122 16 由Error!解得 22x22.22 故当x2时,SABC取得最大值,最大值为 2.32 答案:2 2 转换“函数关系” ,
7、利用函数思想解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、 恒成立问题中, 经常需要求参数的取 值范围,如果按照原有的函数关系很难奏效时,不妨转换思维角度,放弃题设的主参限制, 挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,切入问题本质,从而使原问题获解 已知函数f (x)lg,其中a为常数,若当x(,1时,f 例2 12x4xa a2a1 (x)有意义,则实数a的取值范围为_ 解析 参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中,欲直接建立关于a的不等式 (组)非常困难,故应转换思维角度,设法从原式中把a分离出来,重新认识a与变元x的依 存关系,利用新的函数关系,使原问题“柳暗花明” 由0
8、,且a2a1 2 0, 12x4xa a2a1(a 1 2) 3 4 得 12x4xa0,故a. ( 1 4x 1 2x) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当x(,1时,y与y都是减函数, 1 4x 1 2x 因此,函数y在(,1上是增函数, ( 1 4x 1 2x) 所以 max ,所以a . ( 1 4x 1 2x) 3 4 3 4 故实数a的取值范围是. ( 3 4,) 答案 (3 4,) 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为主,主客换位, 创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解,是解题人思维品质高的表 现本题主客换位后,利用新建函数y
9、的单调性巧妙地求出实数a的取值范 1 4x 1 2x 围此法也叫主元法 技法领悟 应用体验 4设不等式 2x1m(x21)对满足|m|2 的一切实数m的取值都成立,则x的取值范 围为_ 解析:问题可以变成关于m的不等式 (x21)m(2x1)0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1y2, 则y1y2,y1y2, 2m m24 3 m24 所以|y2y1|, 4m23 m24 所以SAOB |OE|y2y1| 1 2 2m23 m24 . 2 m23 1 m23 设t,则g(t)t ,t,m23 1 t 3 所以g(t)10, 1 t2 所以g(t)在区间,)上为增函数,3 所以g(
10、t), 4 3 3 所以SAOB,当且仅当m0 时等号成立 3 2 所以AOB的面积存在最大值,为. 3 2 构造“函数关系” ,利用函数思想解决问题 在数学各分支形形色色的问题或综合题中,将非函数问题的条件或结论,通过类比、联 想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此基础上利用函数思想和方法使原问题获 解,这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是,构造时,要深入审题,充分发 掘题设中可类比、联想的因素,促进思维迁移 设函数f (x)aexln x,曲线yf (x)在点(1,f (1)处的切线为ye(x例3 bex1 x 1)2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)
11、求a,b; (2)证明:f (x)1. 解 (1)f (x)aex(x0), (ln x 1 x) bex1x1 x2 由于直线ye(x1)2 的斜率为 e,图象过点(1,2), 所以Error!即Error!解得Error! (2)证明:由(1)知f (x)exln x(x0), 2ex1 x 从而f (x)1 等价于xln xxex . 2 e 构造函数g(x)xln x,则g(x)1ln x, 所以当x时,g(x)0,当x ,时,g(x)0,故g(x)在上单 (0, 1 e) 1 e(0, 1 e) 调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,)上的最小值为g . ( 1 e,)( 1 e
12、) 1 e 构造函数h(x)xex , 2 e 则h(x)ex(1x) 所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,)时,h(x)0; 故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减, 从而h(x)在(0,)上的最大值为h(1) . 1 e 综上,当x0 时,g(x)h(x),即f (x)1. 技法领悟 对于第(2)问 “aexln x1” 的证明, 若直接构造函数h(x)aexln x1, bex1 x bex1 x 求导以后不易分析, 因此并不宜对其整体进行构造函数, 而应先将不等式 “aexln x1” bex1 x 合理拆分为 “xln xxex ” , 再分别对左右两边构造函
13、数, 进而达到证明原不等式的目的 2 e 应用体验 6 已知函数yf (x)对于任意的x满足f (x)cos xf (x)sin x1ln (0, 2) x,其中f (x)是函数f (x)的导函数,则下列不等式成立的是( ) A.f f 2 ( 3)( 4) 2 ( 3)( 4) C.f f D.f ,所以gg, 3 4 1 e( 3) ( 4) 所以, f ( 3) cos 3 f ( 4) cos 4 即f f ,故选 B.2 ( 3)( 4) 7若 0ln x2ln x1 Beex1e Dx2eg(x2), x2ex1e,故选 C.x1x2 构造“方程形式” ,利用方程思想解决问题 分析
14、题目中的未知量,根据条件分别列出关于未知数的方程(组),使原问题得到解决, 这就是构造方程法,是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知直线l:yk(x1)与抛物线C:y24x交于不同的两点A,B,问:例4 是否存在实数k, 使以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F?若存在, 求出k的值, 若不存在, 请说明理由 解 存在 显然F的坐标为(1,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1k(x11),y2k(x2 1) 当k0 时,l与C只有一个交点不合题意,因此,k0. 将yk(x1)代入y24x, 得k2x22(k22)xk2
15、0, 依题意,x1,x2是式不相等的两个根, 则Error! 以AB为直径的圆过FAFBFkAFkBF1 1x1x2y1y2(x1x2)10 y1 x11 y2 x21 x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10 (1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20. 把x1x2,x1x21 代入式, 22k2 k2 得 2k210.k,经检验,k适合式 2 2 2 2 综上所述,k为所求 2 2 技法领悟 “是否存在符合题意的实数k” ,按思路的自然流向应变为“关于k的方程是否有 解” 另外, 解得k后, 必须经过式的检验, 就是说,k时, 直线l与抛物线C 2 2 2 2 要确实有两个不
16、同的交点 应用体验 8. 已知|a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0 有实根,则a与b夹角的 取值范围为_ 解析 : |a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0 有实根,则|a|24ab0, 设向量a,b的夹角为,则 cos . ab |a|b| 1 4|a| 2 1 2|a| 2 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以a与b的夹角的取值范围为. 3 , 答案: 3 , 9已知x,则函数y的最小值为_ 1 2,2 5x2 x 解析:将原函数变形为y2x25x20,x.设f (x)y2x25x2,该方程有 1 2,2 解的充要条件为 f f (2)0 或Er
17、ror! ( 1 2) 解得y,所以ymin,此时x 或x2.2 5 2 4 2 1 2 答案: 2 转换“方程形式” ,利用方程思想解决问题 把题目中给定的方程根据题意转换形式,凸现其隐含条件,充分发挥其方程性质,运用 有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解,这 是方程思想应用的又一个方面 已知 sin() ,sin() ,求的值例5 2 3 1 5 tan tan 解 法一:由已知条件及正弦的和(差)角公式,得 Error! 所以 sin cos ,cos sin . 13 30 7 30 从而. tan tan sin cos cos sin 13
18、 7 法二:令x.因为, tan tan sin sin 10 3 且. sin sin sin cos cos sin cos cos tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 x1 x1 所以得到方程. x1 x1 10 3 解这个方程得x. tan tan 13 7 技法领悟 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 本例解法二运用方程的思想, 把已知条件通过变形看作关于sin cos 与cos sin 的方程来求解,从而获得欲求的三角表达式的值 (或 tan tan ) 应用体验 10已知函数f (x)满足条件f (x)2f x,则f (x)_. ( 1
19、 x) 解析:用 代换条件式中的x得f 2f (x) , 1 x( 1 x) 1 x 因此f (x)与f 满足方程组 ( 1 x) Error! 2得 3f (x),解得f (x). 2x2 x 2x2 3x 答案:2x 2 3x 11 直线yx3 与抛物线y24x交于A,B两点, 过A,B两点向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为_ 解析:联立Error!消去y,得x210x90, 解得Error!或Error! 所以|AP|10,|BQ|2,|PQ|8, 梯形APQB的面积为 48. 答案:48 总结升华 函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识 (1)函数与
20、不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相 关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数,建立 函数关系求解 (2)三角函数中有关方程根的计算, 平面向量中有关模、 夹角的计算, 常转化为函数关系, 利用函数的性质求解 (3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数, 可用函数的观点去处理数列问题, 常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数或一元二次方程来解决 (4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决,求范围、最 值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决 (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常
21、需要运用列方程或建立函数表 达式的方法加以解决 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 思想(二) 数形结合 直观快捷 充分运用数的严谨和形的直观, 将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来, 使抽象 思维和形象思维结合, 通过图形的描述、 代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想 方法 数形结合思想的应用包括以下两个方面: 以形助数以数助形 即借助形的直观性来阐明数之间的联系以 形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象; 借助单位圆;借助数式的结构特征;借助解 析几何方法 即借助数的精确性来阐明形的某些属性以 数助形常用的有:借助几何轨迹所遵循的数 量关系;借助运算结果与几何定理的结合
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