2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件:第四章 导数及其应用4.2 第3课时 .pdf
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1、第3课时 导数与函数的综合问题 大一轮复习讲义 第四章 4.2 导数的应用 NEIRONGSUOYIN 内容索引 题型分类 深度剖析 课时作业 题型分类 深度剖析1 PART ONE 题型一 利用导数解或证明不等式 1.已知f(x)是定义在(0,)上的可导函数,f(1)0,且对于其导函数f(x)恒 有f(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是 A. B.(0,1) C.(1,) D.(0,1)(1,) 自主演练自主演练 解析 令g(x)f(x)ex, 由x0时,f(x)f(x)0恒成立, 则g(x)f(x)exf(x)ex0, 故g(x)f(x)ex在(0,)上单调递减, 又f(
2、1)0,所以g(1)0. 当x1时,f(x)ex0,得f(x)0; 当0x1时,f(x)ex0,得f(x)0,故选B. 2.设f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)0,当x0时,有0的解集是 A.(2,0)(2,) B.(2,0)(0,2) C.(,2)(2,) D.(,2)(0,2) 又(2)0,当且仅当00, 此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数,h(x)x2f(x)也为奇函数. 故x2f(x)0的解集为(,2)(0,2). 3.已知函数f(x)1 ,g(x)xln x. (1)证明:g(x)1; 当01时,g(x)0, 即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数. 所以g
3、(x)g(1)1,得证. (2)证明:(xln x)f(x)1 . 所以当02时,f(x)0, 即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,)上为增函数, 当且仅当x2时取等号. 又由(1)知xln x1, 当且仅当x1时取等号. 因为等号不同时取得, (1)利用导数解不等式的思路 已知一个含f(x)的不等式,可得到和f(x)有关的函数的单调性,然后可利 用函数单调性解不等式. (2)利用导数证明不等式的方法 证明f(x)0,f(x)单调递增; 当x(1,)时,f(x)0, 所以g(x)为单调增函数,所以g(x)ming(1)2, 故k2,即实数k的取值范围是(,2. 本例(2)中若改为:存在x
4、01,e,使不等式f(x0) 成立,求实数k的取 值范围. 引申探究 由本例(2)知,g(x)为单调增函数, 利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略 (1)首先要构造函数,利用导数求出最值,得出相应的含参不等式,从而求出 参数的取值范围. (2)也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 思维升华 跟踪训练1 已知函数f(x)axln x,x1,e,若f(x)0恒成立,求实数a 的取值范围. 解 f(x)0,即axln x0对x1,e恒成立, x1,e,g(x)0, g(x)在1,e上单调递减, 题型三 利用导数研究函数的零点问题 例2 已知函数f(x)xln x,g(x)x
5、2ax3. (1)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围; 师生共研师生共研 解 由对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立, 即有2xln xx2ax3. 当x1时,h(x)0,h(x)是增函数, 当00,G(x)单调递增. G(x)G(1)0. 中取等号的条件不同, F(x)0,故函数F(x)没有零点. 在(1,)上单调递减, 即F(x)0恒成立,函数F(x)无零点. 利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题,可构造函数,转化为研究函数的零 点个数问题.可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等,从 而画出函数的大致图象,
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