《大学物理教学课件1》第9章.ppt
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1、大学物理学,物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。,机械振动:,振动在空间或媒质中的传播过程。简称为波。,波动:,机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波。,变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。,描述物体状态的物理量在某一数值附近随时间作周期性变化。,振动:,物体运动时,如果离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化,这种运动就称为简谐振动。,一、 简谐振动的特征和运动方程,以水平弹簧振子为例。,坐标原点O为平衡位置;取坐标轴x向右,所受弹性力为:,负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反,始终指向运动物体的平衡位置,故称之为线性回复力。,1、受力特征,在线性回复
2、力作用下物体沿x轴围绕平衡位置O点作周期性往复运动。,(2)平衡位置是物体受力为零的位置。,(1)位移是相对平衡位置的。,2、动力学方程特征,由牛顿第二定律,有:,则有:,加速度与离开平衡位置的位移大小成正比,方向相反。,令:,简谐振动的动力学微分方程,注意: 仅由系统本身决定,与振动情况无关。,若某系统的运动规律满足上述微分方程,且 由系统性质决定,则该系统做简谐振动。,(该判断方法具有一般性,不仅适用于机械振动)。,3、运动学方程(振动方程),由:,可解得:,或:,简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。,A 振幅( 离开平衡位置的最大距离), 角频率(2秒内振动次数或单位时间相位改变),相位(
3、 描述运动状态的量 ), 初相位,1)、确定研究对象,分析受力。 2)、找出平衡位置(受合外力为零的点),写出回复力(或回 复力矩)的表达式。 3)、写出动力学方程 (利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律)。,4、简谐振动的判椐,1)、如果质点所受的力可以表示为:,2)、质点的位移与时间的关系可以表示为,或,则质点做简谐振动。,步骤:,5、简谐振动的速度和加速度,由:,1) v、a 与 x 的 相同。,2),4) 三者相位依次差/ 2 。,3) a 与 x 方向相反,且成正比。,二、描述简谐振动的特征量,(1) 振幅A 物体离开平衡位置的最大位移。,(2) 角频率 ,(3)相位( ) 和 初相,
4、(4)相位差,两个同频率的简谐振动:,同相,两振动步调相反。, 同相和反相,两振动步调相同。,反相, 超前和滞后,x2 比 x1 较早达到正最大。,x1 比 x2 较早达到正最大。,(5) 振幅和初相位的确定,由:,初始条件:,写为:,联立1)和2)式,得:,b)仅由 中之一不能决定 ,需由 其中两个方程可求出。,a) 尚需满足1)和 2)所决定的状态。,例题9-1 单摆:质量m,摆长l,试分析单摆的运动规律。,解:单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位移的正方向,则重力沿摆球运动轨迹的切向分量为:,若 很小,则有:,即:,摆球的切向运动方程为:,其中:,单摆的周期:,例题 一长为 l 的均匀细
5、棒悬于其一端的光滑水平轴上,做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少?,解:均匀细棒可看作刚体,分析所受力矩:取逆时针为正方向。,很小,则:,即:,由转动定律:,所以是简谐振动,其周期为:,例题9-4 一质点作简谐振动,其振动曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。,解:质点作简谐振动,其振动方程及速度表达式分别为,由振动曲线可知,即,可以确定,则该简谐振动的表达式为,三、简谐振动的旋转矢量表示法, 振幅A,作坐标轴 O x , 自O 点作一矢量 OM ,用 表示 。,t 时刻 与x 轴的夹角 相位 t + ,以恒定角速度 绕O 点作逆时针转动 角频率,在t = 0 时与x 轴的夹角 初相 ,矢量
6、的端点M 在x 轴上的投影点P 的坐标为:,所P点的运动为简谐振动。,P点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。,例题9-4、一作简谐振动的物体,其振动曲线如图所示。试写出该振动的表达式。,解:振动方程为,由振动曲线可知,振幅为,t = 0 时,,且其初始速度,作旋转矢量图。,可得其振动初相位为,又 t =1s 时,,由旋转矢量图可知:,则振动方程为:,例题9-5 一质点沿x 轴作简谐振动,振幅 A = 0.12 m,周期T = 2 s,当 t = 0 时,质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ,此时向x 轴正向运动。求:(1)此振动的表达式。 (2)从初始时刻开始第一次通过平
7、衡位置的时间。,利用旋转矢量法求解,根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置,从而得到:,解 (1)取平衡位置为坐标原点。,设振动方程为:,(2) 由旋转矢量图可知,从起始时刻到第一次质点通过原点,旋转矢量转过的角度为:,v0 0 时, 在3,4象限。 v0 0 时, 在1,4象限。 x0 0 时,在2,3象限。,讨论:,四、 简谐振动的能量,2、简谐振动的势能,1、简谐振动的动能,3、简谐振动的总能量,(以弹簧振子为例),振动能量曲线如右图,1)Ep与 Ek 振幅相同,变化规律相同,周期相同,相位相反。,2)系统总能量守恒,与振幅的平方成正比,动能与势能相互转换,系统与外界无能量交换(无阻尼自
8、由振动系统),3)EA2,这是一切振动形式的共同性质。,4、能量平均值,简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均值相等,且等于总能量的一半。, 简谐振动的重要特征,质点的运动方程,上述两个微分方程和运动方程表示同一物体的运动,但后者较为简单所以,在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适.,1、简谐振动的定义式:,或:,2、简谐振动的动力学特征:,物体受力与位移成正比而方向相反。,3、简谐振动的运动学特征:,物体的加速度与位移成正比而方向相反。,4、描述简谐振动的物理量:, 振幅A:, 角频率 :,一、简谐振动,相位( t + ) 和 初相 :,周期 T 和频率 :,相位差 :,同
9、相:,反相:,5、旋转矢量法:,一、同方向同频率简谐振动的合成:,合振动的运动方程:,合成结果仍为简谐运动 合振动与分振动在同一方向,且有相同频率。,讨论:,(1),(2),同相, 合振幅最大,反相, 合振幅最小,当A1 = A2 时,质点静止。,(3) 一般情况(相位差任意),相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用,二、 同方向不同频率的两个简谐振动的合成,两振动的相位差随时间变化。 一般情况下,合振动不再是简谐振动。,合振动的运动方程为:,设两振动的振幅相同,都为A0,初相相同为 。,两频率都较大, 而频率差很小的情况。,合振幅出现时大时小的现象 拍现象,讨论:,当 都很大,且相差甚微时
10、,可将 视为振幅变化部分,合成振动是以 为角频率的 周期振动。,单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频。,拍现象的应用:,用音叉振动校准乐器 测定超声波 测定无线电频率 调制高频振荡的振幅和频率等,三、 同频率相互垂直的两个简谐振动的合成,消去参数 t ,得轨迹方程。,椭圆方程,形状决定于分振动的振幅和相位差。,运动方程:,轨迹:,合运动是简谐振动,角频率与初相不变。,运动方程:,合运动是简谐振动,角频率与初相不变。,轨迹:,轨迹:,y 比x 相位超前 / 2, 椭圆轨道运动的方向是顺时针, 即右旋的。,3、,轨迹:,y 比x 相位滞后 / 2,椭圆轨道运动的方向是逆时针,即左旋的。,4、,四、
11、 不同频率相互垂直的两个简谐振动的合成,(1)若两分振动的频率差异很小,可近似看成同频率的合成,不过相位差不是定值而是在缓慢地变化,故合振动是不稳定的,由 直线 椭圆 直线,重复进行。,(2)若两分振动的频率差别较大,但有简单的整数比,则合振动的轨迹是稳定的封闭曲线(李萨如图形)。,一、 阻尼振动,1、阻尼的分类,a、摩擦阻尼:机械能转化为热能。,b、辐射阻尼:能量辐射出去,形成波(音叉、乐器等)。,实验表明当速度不太大时:,为阻尼系数 。,动力学方程:,振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。,2、阻尼振动的动力学方程:,粘滞阻力:,(1) 时,阻尼较小(欠阻尼),此方程的解:,3、 阻尼振动的
12、动力学方程的解:,欠阻尼特点:,振幅随时间 t 作指数衰减。 近似为简谐振动。 阻尼振动周期比系统的固有周期长。,临界阻尼:物体不能往复运动的临界情况。 从周期运动变为非周期振动 。,(3) 时,为临界阻尼。,应用:阻尼装置可应用于机器减振或仪器指针调节。,(2) 时,阻尼较大(过阻尼)。,无振动发生、非周期运动,二、 受迫振动,系统在周期性外力持续作用下所作的等幅振动。,1、受迫振动的定义,阻尼力:,弹性力:,2、受迫振动的运动微分方程,策动力:,在阻尼较小的情况下,微分方程的解为:,阻尼振动,随时间的推移而消失,简谐振动,稳定解。,经一段时间受迫振动变为以策动力的频率为振动频率的简谐振动。
13、,其振幅为:,初相位:,三、共振,当策动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的振幅达到最大值的现象称为位移共振。,共振的振幅,共振的角频率,位移共振时,振幅最大,故振动系统能量最大,系统形变最大。,1、位移共振:,2、速度共振:,当策动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的速度振幅达到最大值的现象称为速度共振。,共振的角频率,注意:位移共振与速度共振,条件不同。,速度共振时,速率最大,系统动能最大。也称能量共振。,共振的速度振幅,速度振幅随阻尼的减小而增大,但共振频率皆为,3、共振的危害及应用:,利:乐器利用之可提高音效、电磁共振选台(收音机)、核磁共振。,害:桥梁、建筑物等。,1940年11月7
14、日塔科玛海峡大桥的共振断塌,(视频1、视频2),一、 机械波的产生,3、横波和纵波,(1)横波:传播方向与振动方向垂直(如:绳上波),2、机械波产生的条件: (1)要有振源(波源); (2)要有传播振动的弹性媒质。,1、机械波:机械振动在弹性媒质中的传播。,(2)纵波:传播方向与振动方向平行(如:声波),横波有波峰和波谷;只能在固体中传播。,纵波有疏部和密部;可在固体、液体和气体中传播。,由弹性力结合的连续媒质,注意:波动只是振动状态在媒质中的传播,不论横波还是纵波,在传播过程中,媒质中各质点并不随波前进,只是在各自的平衡位置附近振动。,(2)波前:某时刻在最前面的波面,(3)波射线:沿波的传
15、播方向作的射线,简称波线,在各向同性均匀介质中,波线与波面垂直.,(1)波面:t 时刻相位相同的点组成的空间曲面(波阵面),4、波的几何描述波面、波线、波前,可用任意一条波线上的波动情况代表整个波的传播情况。,二、 描写波动的物理量,横波: 相邻的两个波峰(或波谷)之间的距离; 纵波: 相邻的两个密部(或疏部)之间的距离。,波长反映了波的空间周期性。,1、波长:同一波线上相邻的、相位差为2的两质元间的距离。 即一个完整波形的长度.( ),2、周期:波前进一个波长的距离所需要的时间 ,或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间( T ),周期反映了波的时间周期性。,3、频率:单位时间内波前进距
16、离中所包含的完整波的数 目。( ),4、波速:在波动过程中,某一振动状态在单位时间内传播的 距离叫做波速,也称相速。(u ),说 明:,3)波长由波源和媒质共同决定。同一频率的波其波 长将随媒质的不同而不同。,2)波速的大小取决于媒质,与频率无关。,5、波程差对应的相位差,波线上相距为 的两点间的相位差 为,由于波线上单位长度对应的相位差为 ,所以:,(2)波线上一点的振动与过该点的波面上各点的振动状态相同,如右图所示。,(1)振动传播过程中媒质不吸收振动的能量,所以媒质中各质元的振幅相等。,二、平面简谐波的波函数,x 表示不同质元。 y 表示离开平衡位置的位移。,波函数:各质点的位移(y)与
17、平衡位置(x)及时间t的关系。,一、平面简谐波的特点:,结论:一条波线上各点的振动可以代表媒质中各质点的振动。波线上任意点的振动表达式即为平面简谐波的波函数。,波面和波线示意图,三、平面简谐波波函数的建立,要写出波线上任意点的振动表达式关键是要求出任意点的相位。沿波传播方向各点的振动状态(相位)依次落后.,在理想无吸收的均匀无限大媒质中,要建立平面简谐波的波函数,只要得到波线上任意点的振动表达式即可。,(1)由波程差求波函数,点 P 的相位落后于点 O 的相位, 落后的相位为:,设O点质元的振动方程为,则P点的振动方程为:,由于点P是任意一点,因此波动过程中任意一点的振动位移随时间的变化规律为
18、,此即沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数。,(2)由时间差求波函数,点P的振动时间落后于原点O。振动从点O传到点P所需的时间为,P点在 t 时刻重复的是O点 t -t 时刻的振动状态:,波函数的不同形式,若波沿x轴负方向传播,则波函数的形式为:,四、 波函数的物理意义,1、 x 确定时(x = x0)为该处质点的振动方程,对应曲线为该处质点振动曲线。,2、 t 确定时(t = t0)为该时刻各质点位移分布,对应曲线为该时刻波形图。,其中:,注意:波形图与振动曲线的区别。,3、 t, x 都变化时,表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位移情况,即所有质元位移随时间变化的整体情况 行波。,波形曲线
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