【中学课件】数学归纳法.ppt
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1、13.5 数学归纳法 要点梳理 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出 的推理 方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉 及事物的全体或部分可分为 归纳法和 归纳法.,一般结论,完全,不完,全,基础知识 自主学习,http:/ (1)数学归纳法:设Pn是一个与正整数相关的 命题集合,如果证明起始命题P1(或P0) 成立;在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1 也成立,那么可以断定Pn对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤 (归纳奠基)证明当n取第一个值 时,命题 成立. (归纳递推)假设 (kn0,kN+)时命题 成立,证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开
2、始 的所有正整数n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,http:/ 1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+an+1 (a1)”在验证n=1时,左端计算所得的项 为( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3,C,http:/ 条时,第一 步检验第一个值n0等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析 边数最少的凸n边形是三角形.,C,http:/ 若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( ) A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立 解析 归纳奠基是:n=2成立.
3、归纳递推是:n=k成立,则对n=k+2成立. p(n)对所有正偶数n都成立.,B,http:/ 成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现 已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( ) A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立 解析 方法一 由n=k(kN+)成立,可推得当 n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立,必有 n=5成立.现知n=5不成立,所以n=4一定不成立. 方法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成 立,则当n=k时也不成立”为真,故“n=5时不 成立”“n=4时不成立”.,C,http:/ ,则当 n=k
4、+1时左端应在n=k的基础上加上( ) A.k2+1 B.(k+1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2 解析 当n=k时,左边=1+2+3+k2, 当n=k+1时, 左边=1+2+3+k2+(k2+1)+(k+1)2, 当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2.,C,http:/ 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明: 对任意的nN+, 用数学归纳法证明的步骤为:归纳 奠基:验证当n=1时结论成立;归纳递推:假 设当n=k(kN+)时成立,推出当n=k+1时结论 也成立.,题型分类 深度剖析,http
5、:/ 所以等式成立. (2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即有,http:/ 由(1)(2)可知,对一切nN+等式都成立. 用数学归纳法证明与正整数有关的一 些等式时,关键在于“先看项”,弄清等式两边 的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时等式的两边变 化的项,然后正确写出归纳证明的步骤,使问题 得以证明.,http:/ 用数学归纳法证明: 证明 (1)当n=1时,等式左边 等式右边 所以等式成立. (2)假设n=k(kN+)时等式成立, 那么当n=k+1时,,http:/ 由(1)(2)可知,对任意nN+等式均成立.,http:/ 用数学归
6、纳法证明整除问题 用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (nN+) 能被a2+a+1整除. 解 (1)当n=1时, a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除. (2)假设n=k(kN+)时, ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,,验证n=1时命题是否成立,假设n=k时命题成立,推证n=k+1时命题成立,得结论,http:/ ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知aak+1+(
7、a+1)2k-1能被a2+a+1整除, (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除, ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除, 即n=k+1时命题也成立, 对任意nN+原命题成立. 证明整除问题的关键是“凑项”,而 采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出 n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.,http:/ 求证:(3n+1)7n-1 (nN+)能被9 整除. 证明 (1)当n=1时,(3n+1)7n-1=27能被9整除. (2)假设n=k (kN+)时命题成立,即 (3k+1)7k-1能被9整除, 那么n=k+1时: 3(k+1)+17k+1-1=(3k+
8、1)+3(1+6)7k-1 =(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k =(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)7k. 以上三项均能被9整除. 则由(1)(2)可知,命题对任意nN+都成立.,http:/ 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然 数,不等式 均成立. 应注意到题目条件,第一步应验证 n=2时不等式成立. 证明 (1)当n=2时,左边 左边右边,不等式成立. (2)假设n=k (k2,且kN+)时不等式成立,,http:/ 当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等 式都成立.,http:/ 缩技巧,使
9、问题得以简化.用数学归纳法证明不等 式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等 式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩 法等.,http:/ 已知函数f(x)=x-sin x,数列an满足: 00, 所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在0,1上连续, 从而f(0)f(ak)f(1),即0ak+11-sin 11.,http:/ 由()()可知,0an1对一切正整数都成立. 又因为0an1时, an+1-an=an-sin an-an=-sin an0, 所以an+1an. 综上所述,0an+1an1. (2)设函数g(x)=sin x-x+ 由(1)知,当0x1时,
10、sin xx. 从而g(x)=,http:/ 又g(x)在0,1上连续,且g(0)=0, 所以当00成立. 于是g(an)0,即,http:/ 归纳、猜想、证明 (12分)已知等差数列an的公差d大于0, 且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列bn的前 n项和为Tn,且 (1)求数列an、bn的通项公式; (2)设数列an的前n项和为Sn,试比较 与 Sn+1的大小,并说明理由. (1)由a2、a5是方程的根,求出an,再 由 求出bn. (2)先猜想 与Sn+1的大小关系,再用数学归纳 法证明.,http:/ 又an的公差大于0,a5a2,a2=3,a5=9.,5分,http:
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