工程电磁场第二章.ppt
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1、1,第二章 静电场的基本原理 2.1 库仑定律与电场强度 两个点电荷之间的作用力用下式表示,在真空中, 两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力的大小和q1与q2的乘积成正比,和它们之间距离R的平方成反比;作用力的方向沿着它们的联线,同号电荷相斥,异号电荷相吸。,2,0是真空中的介电常数 电荷量的单位库仑,C 距离的单位米,m 力的单位牛,N 0的单位是法/米,F/m,库仑定律是静电场的基础,也是电磁场的基础,点电荷:只带电荷而没有形状和大小的物体。,3,2. 电场强度 电荷在其周围产生电场,产生电场的电荷称为电场的源。 相对于观察者静止的电荷产生的电场,称为静电场。 真空中放置一个点电荷q,
2、在其附近放置一个试验电荷q1。在静电场中的某一点(x, y,z),q1受到的作用力F与q1的电荷量成正比,而作用力F与q1电荷量的比值与试验电荷无关,我们定义表征静电场的基本场矢量电场强度为:,单位伏/米,V/m 点电荷q产生的电场强度,R是从点电荷所在的源点(x,y,z)到场点(x,y,z)的距离;eR为源点到场点的单位矢量,4,3. 分布电荷的电场强度 电场力的叠加原理,两个点电荷共同产生的电场强度,N个点电荷共同产生的电场强度,5,线密度,面密度,体密度,电荷元,电荷元产生的电场强度与点电荷相同,是一个无穷小的量,积分可得整个源区所有电荷产生的电场强度,6,线电荷、面电荷、体电荷产生的电
3、场强度,例2-1-1真空中长度为2l的直线段,均匀带电,电荷线密度为。求线段外任一点P的电场强度。,解 根据对称性分析,采用柱坐标系分析比较方便。 坐标的源点位于线段的中心,z轴与线段重合。场点P的坐标为(r, , z),取电荷元dz,源点坐标为(0, , z),7,补充内容:圆柱坐标系,8,电荷源在p点产生的电场强度的各分量为,场点坐标(r, , z)是不变量,源点坐标(0, , z)中z是变量,统一用表示,9,总的电场强度,若为无限长直导线,10,例2-1-2如图所示,真空中圆形线电荷半径为a,均匀带电,电荷线密度为,求在其轴线上任一点的电场强度。 解 根据电荷分布的对称性,采用圆柱坐标系
4、。设坐标原点在圆形线电荷的圆心,z轴与线电荷圆心轴线重合。,场点P的坐标为(0,z) ,取一个电荷元ad ,源点坐标为 (a, ,0)。再取一个电荷元ad ,源点坐标为 (a, +,0)。这样,两对称电荷元在P点产生的电场强度沿er方向两个分量符号相反,相互抵消;沿e 方向的电场强度为零;沿ez方向的两个分量符号相同。因此,由这两个对称电荷元产生的电场强度为,计算P点电场强度时,场点坐标(0,z)不变,源点坐标(a, ,0)中只有 是变量。,11,12,2. 2电位与静电场的环路定理 1. 电位,场点的坐标是(x, y, z),用距离矢量r表示; 源点的坐标是(x, y, z),用距离矢量r表
5、示;R是以上两距离矢量之差,也就是从源点到场点的距离矢量,且,可见,R与(x, y, z) 和(x, y, z)都有关系。当源点不变,场点变化时, 的梯度表示为 。当场点不变,源点变化时, 的梯度表示为,13,球坐标系,坐标变量: 变量取值范围: 单位矢量: ( ) 任一矢量可表示为: 位置矢量: 微分元:,14,15,16,电场强度计算公式,梯度是对场点进行的,是电荷密度,是源点的函数,与场点无关,式中,体积分是对源点进行的,源点变化;求梯度是对场点进行的,场点变化,故两种运算相互独立,可以交换次序,由上式可知,电场强度可表示为某个标量函数的负梯度。我们把这个标量函数定义 为电位,并用 来表
6、示,则,17,体电荷,面电荷,线电荷,N个点电荷,电位的表示式中有常数C,说明电位数值不是惟一的。但由电位求负梯度得到的电 场强度却是惟一的。电位的惟一性问题,可以由选择电位参考点来解决。电位的参考点就是强迫电位为零的点。在电荷分布于有限区域的情况下,选择无穷远处为电位参考点,计算比较方便。这时,前面电位计算式中的常数C为零。,18,2.电位与电场强度的关系 由电位计算电场强度,是求梯度的运算,也就是求微分的运算,由电场强度计算电位,是相反的运算,也就是求积分的运算。考虑电场强度的线积分,Q点电位已知,Q点为参考电位,且=0,则,这就是说,P点的电位等于电场强度从P点到参考点的线积分。电场强度
7、是单位电荷受到的电场力。所以,P点的电位表示将单位电荷从P点移动到参考点,电场力所做的功。 电位和电压的单位是伏,V。,19,3.静电场环路定理 对电场强度求旋度,可得,即电场强度的旋度为零,这是静电场环路定理的微分形式 根据斯托克斯定理,有,电场强度的闭合线积分为零,是静电场环路定理的积分形式,20,对闭合曲线acbda,应用环路定理,可见,ab两点之间的电位差与积分路径无关,这是静电场环路定理的具体体现。 旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。,21,4 等电位面与电场强度线 等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由电位相同的点组成的曲面,其方程为,电场强度线是一族有方
8、向的线。电场强度线上每一点的切线方向就是该点的电场强 度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元,则电场强度可表示为E= kdl。在直角 坐标系中,有,电场强度线方程,点电荷电场,22,例2-2-1如图所示,在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产生的静电场中,求P1 (0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。,解 (1)由电位公式直接计算,P1和P2点的电位分别为,(2)由电场强度积分计算,根据点电荷的电场强度公式,23,2 .3 高斯通量定理 1.高斯通量定理的微分形式 在体电荷情况下,讨论电场强度的散度:,上式的散度运算是对场点进行,体积分运算对源点进行,两种独立运算可以交换次序,即,由
9、于是电荷密度,是源点的函数,与场点无关,所以,24,式中,体积分的被积函数在R=0(即源点与场点重合这一点)之外的区域上全为零。因 此,积分区域可缩小到场点附近的小区域。,假定小区域是以场点为球心,以R为半径的球体,因为R可以任意小,所以可认为小体积中的为常数,并将其移到积分号之前。根据散度定理,有,25,高斯通量定理的微分形式,即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密度与真空的介电常数之比,26,2.高斯通量定理的积分形式 由高斯通量定理的微分形式,利用散度定理可得,式中,S为任意闭合面,q为该闭合面内电荷总量。,这就是高斯通量定理的积分形式。,27,例2-3-1真空中半径为a的均
10、匀带电球,若其电荷体密度为,求球体内外的电场强 度和电位。 解 如图所示,根据电荷分布的对称性,作半径为r的球面S,则在S上电场强度量值处处相等,方向都沿半径方向。根据高斯通量定理,当ra时,28,当ra时,设无穷远处为电位参考点,则当ra时,当ra时,29,例2-3-2如图所示,真空中,半径为A的大圆球内有一个半径为a的小圆球,两圆球面之间部分充满体密度为的电荷,小圆球内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。,解 根据叠加原理,空洞内P点的电场强度,可以看作是由充满电荷、电荷体密度为的大球和充满电荷、电荷体密度为- 的小球在P共同产生的电场强度。 因为大球内电荷产生的电场
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