2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义:第1部分 第2章 2.4 2.4.2 抛物线的几何性质 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 24.2 抛物线的几何性质 对应学生用书P33 太阳能是最清洁的能源, 太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例 子 太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲 面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上,经镜面反射后,反 射光线都经过抛物线的焦点,这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论 依据 问题 1:抛物线有几个焦点? 提示:一个 问题 2:抛物线有点像双曲线的一支,抛物线有渐近线吗? 提示:没有 问题 3:抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同? 提示:椭圆有四个顶点,双曲线有二个顶点,抛物线只有一个顶点 抛物线的简单几何性质 标准
2、方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) 图像 范围x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0 对称轴x 轴y 轴 顶点原点 性 质 开口 方向 向右向左向上向下 抛物线的性质特点: (1)抛物线只有一个焦点,一个顶点,一条对称轴,一条准线,无对称中心,因此,抛 物线又称为无心圆锥曲线 (2)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线 (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比,所以 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 抛物线的离心率是确定的,为 1. (4)抛物线的焦点在对称轴上,准线
3、垂直于对称轴,焦点到准线的距离为 p,它是一个不 变量,不随抛物线位置的变化而变化,焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离 相等,均为 . p 2 对应学生用书P33 求抛物线的标准方程与几何性质 例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,准线是 y4; (2)顶点在原点,通过点(,6),且以坐标轴为轴3 思路点拨 可先根据条件确定抛物线的焦点位置,从而设出抛物线的标准方程,再利 用待定系数法求出标准方程 精解详析 (1)顶点在原点,准线是 y4 的抛物线的标准方程可设为 x2 2py(p0)因为准线是 y4,所以 p8. 因此,所求抛物线的标准方程是 x216y.
4、 (2)若 x 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为 y22px,因为点(,6)在抛物线3 上,所以(6)22p,解得 2p12 ,故所求抛物线的标准方程为 y212 x.333 若 y 轴是抛物线的轴,同理可得抛物线的标准方程为 x2 y. 1 2 一点通 利用待定系数法求抛物线的标准方程,往往与抛物线的几何性质相联系,这 就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练,特别 是开口方向、焦点坐标、准线方程等 1已知双曲线方程是 1,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛 x2 8 y2 9 物线的准线方程 解:双曲线 1 的右顶点坐标是(2,0), x
5、2 8 y2 9 2 2,且抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上 p 2 2 所求抛物线的标准方程为 y28x,准线方程为2 x2 . 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9x24y236 的短轴所在的直线,抛物线 焦点到顶点的距离为 3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程 解:椭圆的方程可化为 1, x2 4 y2 9 其短轴在 x 轴上,抛物线的对称轴为 x 轴, 设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0) 抛物线的焦点到顶点的距离为 3, 即 3,p6, p 2 抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x, 其准线方程分别为 x
6、3 和 x3. 抛物线几何性质的应用 例 2 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上, 直线 l 过 F 且垂直于 x 轴, l 与抛物线交于 A、 B 两点,O 为坐标原点,若AOB 的面积为 4,求此抛物线的标准方程 思路点拨 设出抛物线的方程,表示出AOB 的面积,利用面积列方程求解 精解详析 由题意,设抛物线方程为 y22mx(m0),焦点 F( ,0),直线 l:x , m 2 m 2 A、B 两点坐标为( ,m)、( ,m) m 2 m 2 AB2|m|. AOB 的面积为 4, | |2|m|4, 1 2 m 2 m2,抛物线方程为 y24x.22 一点通 抛物线的几何性质在解与抛物
7、线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题 的过程中又容易忽视这些隐含条件例 2 的关键是根据对称性求出线段|AB|的长,进而通过 面积求出 m. 3 抛物线y24x的焦点为F, 点P为抛物线上的动点, 点M为其准线上的动点, 当FPM 为等边三角形时,其面积为_ 解析:据题意知,FPM 为等边三角形,PFPMFM,PM抛物线的准线设 P ,则 M(1,m),等边三角形边长为 1,又由 F(1,0),PMFM,得 1 ( m2 4 ,m) m2 4 m2 4 ,得 m2,等边三角形的边长为 4,其面积为 4.(11)2m233 答案:4 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4(江西高
8、考)抛物线 x22py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 1 相交于 A,B x2 3 y2 3 两点,若ABF 为等边三角形,则 p_. 解析:由 x22py(p0)得焦点 F,准线 l 为 y ,所以可求得抛物线的准线与 (0, p 2) p 2 双曲线 1 的交点 A, B, 所以 AB , 则 AF x2 3 y2 3( 12p2 2 ,p 2) ( 12p2 2 ,p 2) 12p2 AB ,所以sin ,即,解得 p6.12p2 p AF 3 p 12p2 3 2 答案:6 5已知 A、B 是抛物线 y22px(p0)上两点,O 为坐标原点,若 OAOB,且ABO 的 垂心恰是此
9、抛物线的焦点 F,求直线 AB 的方程 解:ABO 是等腰三角形,A、B 关于 x 轴对称, AB 垂直于 x 轴 设直线 AB 方程为 xa,则 y22pa. 可设 A(a,),B(a,)2pa2pa 而焦点 F 为(p 2,0) kFA,kOB. 2pa ap 2 2pa a kFAkOB1, 1. 2pa(r(2pa) (a p 2)a a p. 5 2 AB 的方程为 x p. 5 2 抛物线中的最值问题 例 3 求抛物线 y24x 上到焦点 F 的距离与到点 A(3,2)的距离之和最小的点的坐标, 并求出这个最小值 思路点拨 可以设抛物线上的点为 P,要求 PAPF 的最小值,可利用
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