2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义:第1部分 第2章 2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _2.5圆锥曲线的统一定义 对应学生用书P35 圆锥曲线的统一定义 抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F 的距离与到定直线(准线)l 的距离的比值等于 1(离心率)的动点的轨迹 在坐标平面内有一定点 F(c,0), 定直线 x(a0, c0) 动点 P(x, y) a2 c 到定点 F(c,0)的距离与到定直线 x的距离的比为 . a2 c c a 问题 1:求动点 P(x,y)的轨迹方程 提示:由 , (xc)2y2 |a 2 c x| c a 化简得:(a2c2)x2a2y2a2(a2c2) 问题 2:当 ac,即 01 时,轨迹是什么? c
2、a 提示:双曲线 圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的 比等于常数 e 的点的轨迹 当 0e1 时,它表示椭圆, 当 e1 时,它表示双曲线, 当 e1 时,它表示抛物线 其中 e 是离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的准线. 圆锥曲线的准线 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从抛物线的定义知,抛物线只有一个焦点和一条准线,那么椭圆、双曲线有几个焦点, 几条准线? 提示:椭圆、双曲线分别有两个焦点,两条准线 椭圆、双曲线和抛物线的准线方程 曲线方程准线方程曲线方程准线方程 1(ab0) x2 a2 y2
3、b2 xa 2 c 1(ab0) y2 a2 x2 b2 ya 2 c 1(a0,b0) x2 a2 y2 b2 xa 2 c 1(a0,b0) y2 a2 x2 b2 ya 2 c y22px(p0)xp 2 x22py(p0)yp 2 y22px(p0)xp 2 x22py(p0)yp 2 圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别 椭圆、 双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系, 第二定义主要表现了动点与 一定点和一条定直线的距离之比的关系, 所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当 选择 利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离, 利用第二定义可以把 到定点与到定直线的
4、距离互相转化,对于抛物线,第一定义与第二定义是一致的 对应学生用书P36 利用统一定义确定曲线形状 例 1 过圆锥曲线 C 的一个焦点 F 的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,且以 AB 为直径 的圆与 F 相应的准线相交,则曲线 C 为_ 思路点拨 利用圆锥曲线第二定义进行转化, 由圆心到直线的距离和半径的大小关系, 建立不等式求 e 的范围即可判断 精解详析 设圆锥曲线的离心率为 e,M 为 AB 的中点,A,B 和 M 到准线的距离分别 为 d1,d2和 d,圆的半径为 R,d,R.由题意知 Rd, d1d2 2 AB 2 FAFB 2 e(d1d2) 2 则 e1,圆锥曲线为双曲
5、线 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 双曲线 一点通 解答这种类型的问题时,巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化,即 ePF 1 d1 .有时会应用到数形结合的思想方法,这种类型多为客观题,以考查统一定义的应用为 PF2 d2 主 1方程 |xy1|对应点 P(x,y)的轨迹为_(1x)2y2 解析:由|xy1|(1x)2y2 得. x(1)2y2 |xy1| 2 2 可看作动点 P(x,y)到定点(1,0)的距离与到定直线 xy10 的距离比为1 的轨2 迹方程,由圆锥曲线统一定义可知,轨迹为双曲线 答案:双曲线 2若将例 1 中“相交”二字改为“相离” ,判断曲线的形状 ;
6、把“相交”二字改为“相 切” ,再判断曲线的形状 解:设圆锥曲线的离心率为 e,M 是 AB 中点,A,B 和 M 到准线的距离分别为 d1,d2 和 d,圆的半径为 R, 则 d, d1d2 2 R. AB 2 FAFB 2 e(d1d2) 2 当圆与准线相离时,Rd, 即, e(d1d2) 2 d1d2 2 0e1,圆锥曲线为椭圆 当圆与准线相切时,Rd, e1,圆锥曲线为抛物线. 用圆锥曲线的统一定义求轨迹 例 2 已知动点 P(x, y)到点 A(0,3)与到定直线 y9 的距离之比为, 求动点 P 的轨迹 3 3 思路点拨 此题解法有两种一是定义法,二是直译法 精解详析 法一:由圆锥
7、曲线的统一定义知:P 点的轨迹是一椭圆,c3,9, a2 c 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 a227,a3,3 e,与已知条件相符 3 3 3 3 3 椭圆中心在原点,焦点为(0,3),准线 y9. b218,其方程为1. y2 27 x2 18 法二:由题意得. x2(y3)2 |9y| 3 3 整理得1. y2 27 x2 18 P 点的轨迹是以(0,3)为焦点,以 y9 为准线的椭圆 一点通 解决此类题目有两种方法:是直接列方程,代入后化简整理即得方程 是根据定义判断轨迹是什么曲线,然后确定其几何性质,从而得出方程 3平面内的动点 P(x,y)(y0)到点 F(0,2)
8、的距离与到 x 轴的距离之差为 2,求动点 P 的 轨迹 解: 如图:作 PMx 轴于 M,延长 PM 交直线 y2 于点 N. PFPM2, PFPM2. 又PNPM2,PFPN. P 到定点 F 与到定直线 y 2 的距离相等 由抛物线的定义知, P的轨迹是以F为焦点, 以y2为准线的抛物线, 顶点在原点, p 4. 抛物线方程为 x28y(y0) 动点 P 的轨迹是抛物线 4在平面直角坐标系 xOy 中,已知 F1(4,0),直线 l: x2,动点 M 到 F1的距离是 它到定直线 l 距离 d 的倍设动点 M 的轨迹曲线为 E.2 (1)求曲线 E 的轨迹方程; (2)设点F2(4,0
9、), 若直线m为曲线E的任意一条切线, 且点F1, F2到m的距离分别为d1, d2, 试判断 d1d2是否为常数,并说明理由 解:(1)由题意,设点 M(x,y), 则有 MF1,(x4)2y2 点 M(x,y)到直线 l 的距离 d|x(2)|x2|, 故|x2|,(x4)2y22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 化简得 x2y28. 故动点 M 的轨迹方程为 x2y28. (2)d1d2是常数,证明如下: 若切线 m 斜率不存在,则切线方程为 x2,2 此时 d1d2(ca)(ca)b28. 当切线 m 斜率存在时,设切线 m:ykxt, 代入 x2y28,整理得:x2(kx
10、t)28, 即(1k2)x22tkx(t28)0. (2tk)24(1k2)(t28)0, 化简得 t28k28. 又由 kxyt0,d1,d2, |4kt| k21 |4kt| k21 d1d28,8 为常数 |16k2t2| k21 |16k2(8k28)| k21 综上,对任意切线 m,d1d2是常数. 圆锥曲线统一定义的应用 例 3 已知定点 A(2,),点 F 为椭圆1 的右焦点,点 M 在椭圆上运动,3 x2 16 y2 12 求 AM2MF 的最小值,并求此时点 M 的坐标 思路点拨 利用统一定义把 MF 转化为点 M 到相应准线的距离, 数形结合便可迎刃而 解 精解详析 a4,
11、b2,c2.3a2b2 离心率 e .A 点在椭圆内,设 M 到右准线的距离为 d,则e,即 MFed d, 1 2 MF d 1 2 右准线 l:x8. AM2MFAMd. A 点在椭圆内, 过 A 作 AKl(l 为右准线)于 K,交椭圆于点 M0. 则 A、M、K 三点共线,即 M 与 M0重合时,AMd 最小为 AK,其值为 8(2)10. 故 AM2MF 的最小值为 10,此时 M 点坐标为(2, )33 一点通 圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题,利用定义, 实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化, 互化时应注意焦点与准线的对 应 高清试卷 下载可
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