2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义:第1部分 第2章 2.6 2.6.2 求曲线的方程 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 26.2 求曲线的方程 对应学生用书P40 在平面直角坐标系中,A、B 两点的坐标分别为(2,3),(4,1) 问题 1:求平面上任一点 M(x,y)到 A 点的距离 提示:MA.(x2)2(y3)2 问题 2:试列出到点 A、B 距离相等的点满足的方程 提示:MAMB, 即 (x2)2(y3)2 .(x4)2(y1)2 求曲线方程的一般步骤 正确认识求曲线方程的一般步骤: (1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称 轴为坐标轴;其次,可以选曲线上的特殊点作为原点 (2)“设曲线上任意一点 M 的坐标为(x,y)”
2、 这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中 所含的等量关系 (3)“列出符合 p(M)的方程 f(x,y)0.”这里就是等量关系的坐标化,完成这一步需要 使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识 (4)“化方程 f(x,y)0 为最简形式” 化简时需要使用代数中的恒等变形的方法 (5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上” 这一步的证明是必要的从教 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 材内容看, 这一步不作要求, 可以省略, 但在完成第(4)步时, 所用的变形方法应都是可逆的, 否则要作适当说明 对应学生用书P41 直接法求曲线方程 例 1 ABC 中,角 A、B、C 所对
3、的边分别为 a,b,c,acb,且 a,c,b 成等差 数列,AB2,求顶点 C 的轨迹方程 思路点拨 由 a,c,b 成等差数列可得 ab2c; 由 acb 可知所求轨迹方程是整个 轨迹方程的一部分;由 AB2 可建立适当的坐标系于是可按求曲线方程的一般步骤求解. 精解详析 以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,则 A(1,0), B(1,0),设 C 点坐标为(x,y), 由已知得 ACBC2AB. 即 4,(x1)2y2(x1)2y2 整理化简得 3x24y2120,即 1. x2 4 y2 3 又acb,xcb 且 a, c, b 成等差数列
4、” 改为 “ABC 的周长为 6 且 AB2” , 求顶点 C 的轨迹方程 解 : 以 AB 所在直线为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系 则 A(1,0),B(1,0),设 C(x,y), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由已知得 ACBCAB6. 即4.(x1)2y2(x1)2y2 化简整理得 3x24y2120,即 1. x2 4 y2 3 A、B、C 三点不能共线, x2. 综上,点 C 的轨迹方程为 1(x2) x2 4 y2 3 2已知三点 O(0,0),A(2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足|MB |M
5、A OM (OA OB )2.求曲线 C 的方程 解:由MA (2x,1y),MB (2x,1y),得 |MA MB |,(2x)2(22y)2 又OM (OA OB )(x,y)(0,2)2y, 由已知得 2y2,(2x)2(22y)2 化简得曲线 C 的方程是 x24y. 定义法求曲线方程 例 2 已知圆 A:(x2)2y21 与定直线 l:x1,且动圆 P 和圆 A 外切并与直线 l 相切,求动圆的圆心 P 的轨迹方程 思路点拨 利用平面几何的知识,分析点 P 满足的条件为抛物线,可用定义法求解 精解详析 如图, 作 PK 垂直于直线 x1, 垂足为 K, PQ 垂直于 直线 x2, 垂
6、足为 Q, 则 KQ1,所以 PQr1,又 APr1, 所以 APPQ, 故点P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等,所以点P 的轨迹为抛物线, A(2,0)为焦点,直线 x2 为准线 2,p4, p 2 点 P 的轨迹方程为 y28x. 一点通 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义,可以设出其标准方程,然 后用待定系数法求解, 这种求轨迹的方法称为定义法, 利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的 定义的特征 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3 点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x8 的距离的比是 12, 求点 P 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形 解:
7、设 d 是点 F 到直线 x8 的距离, 根据题意,得 . PF d 1 2 由圆锥曲线的统一定义可知,点 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点,x8 为准线的椭圆,则 Error!解得Error! b2a2c216412. 故点 P 的轨迹方程为1. x2 16 y2 12 4.如图所示,已知点 C 为圆(x)2y24 的圆心,点 A(,0),P 是22 圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 上,且MQ AP 0,AP 2AM .当 点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程 解 : 圆(x)2y24 的圆心为 C(, 0), 半径 r2, MQ AP 0,22 AP 2AM , MQAP,点
8、 M 为 AP 的中点,即 QM 垂直平分 AP. 连结 AQ, 则 AQQP, |QCQA|QCQP|CPr2. 又|AC|22,根据双曲线的定义,点 Q 的轨迹是以 C(,0),A(,0)为焦点,222 实轴长为 2 的双曲线, 由 c,a1,得 b21,2 因此点 Q 的轨迹方程为 x2y21. 代入法求曲线方程 例 3 动点 M 在曲线 x2y21 上移动,M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P,求 P 点的 轨迹方程 思路点拨 设出点 P、M 的坐标,用 M 的坐标表示 P 的坐标,再借助 M 满足的关系 即可得到 P 的坐标所满足的关系 精解详析 设 P(x,y),M(x0,y0
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