2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义:第1部分 第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 .3.1.3 空间向量基本定理 对应学生用书P53 空间向量基本定理 某次反恐演习中,一特别行动小组获悉 : “恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往 南 1 000 m,再往东 600 m 处的某大厦 5 楼(每层楼高 3.5 m),行动小组迅速赶到目的地,完 成解救“人质”的任务 “人质”的隐藏地由华联超市“南 1 000 m” 、 “东 600 m” 、 “5 楼” 这三个量确定,设 e1是向南的单位向量,e2是向东的单位向量,e3是向上的单位向量 问题:请把“人质”的位置用向量 p 表示出来 提示:p1 000e1600e214e3. 1空间
2、向量基本定理 如果三个向量 e1, e2, e3不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在惟一的有序实数组(x, y, z), 使 pxe1ye2ze3. 2推论 设 O、 A、 B、 C 是不共面的四点, 则对空间任意一点 P, 都存在惟一的有序实数组(x, y, z), 使得xOA yOB zOC OP . 基底 空间任何一个向量,都可以用空间任意三个向量惟一表示吗? 提示:不一定,由空间向量基本定理知,只有三个向量 e1,e2,e3不共面时,空间任何 一向量才可以用 e1,e2,e3惟一表示,否则不可能表示 1基底和基向量 如果三个向量 e1、 e2、 e3不共面, 那么空间的每一个向量都
3、可由向量 e1、 e2、 e3线性表示, 我们把e1,e2,e3称为空间的一个基底,e1,e2,e3叫做基向量 2正交基底和单位正交基底 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底 特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底, 通常用i,j,k表示 1空间向量基本定理表明,用空间三个不共面向量组a,b,c可以线性表示出空间的 任意一个向量,而且表示的结果是惟一的 2空间中的基底是不惟一的,空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底 对应学生用书P54 基底的概念 例 1 若a,b,c是空间
4、的一个基底试判断ab,bc,ca能否作为该空间的 一个基底 思路点拨 判断 ab,bc,ca 是否共面,若不共面,则可作为一个基底,否则, 不能作为一个基底 精解详析 假设 ab, bc, ca 共面, 则存在实数 、 使得 ab(bc)(ca), abba()c. a,b,c为基底,a,b,c 不共面 Error!此方程组无解,ab,bc,ca 不共面 ab,bc,ca可以作为空间的一个基底 一点通 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,所以空间中的基 底有无穷多个但是空间中的基底一旦选定,某一向量对这一基底的线性表示只有一种,即 在基底a,b,c下,存在惟一的有序实数组(x,
5、y,z),使得 pxaybzc. 证明三个向量能否构成空间的一个基底, 就是证明三个向量是否不共面, 证明三个向量 不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明 1设 xab,ybc,zca,且a,b,c是空间的一个基底给出下列向量组 : a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,abc 其中可以作为空间的基底的向量组有_个 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:如图所设 aAB ,b 1 AA ,cAD ,则 x 1 AB ,y 1 AD ,zAC ,abc 1 AC . 由 A, B1, D, C 四点不共面可知向量 x, y, z 也不共面 同理可知 b, c, z 和 x,
6、y, abc 也 不共面,可以作为空间的基底因为 xab,故 a,b,x 共面,故不能作为基底 答案:3 2已知e1,e2,e3是空间的一个基底,且OA e12e2e3,OB 3e1e22e3, OC e1e2e3,试判断OA ,OB ,OC 能否作为空间的一个基底?若能,试以此基 底表示向量OD 2e1e23e3;若不能,请说明理由 解 : 假设OA 、OB 、OC 共面,由向量共面的充要条件知,存在实数 x、 y 使OA x OB yOC 成立 e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3) (3xy)e1(xy)e2(2xy)e3. e1,e2,e3是空间的一个基底,e1,e2,
7、e3不共面, Error!此方程组无解, 即不存在实数 x、y 使OA xOB yOC , OA ,OB ,OC 不共面 故OA ,OB ,OC 能作为空间的一个基底, 设OD pOA qOB zOC ,则有 2e1e23e3 p(e12e2e3)q(3e1e22e3)z(e1e2e3) (p3qz)e1(2pqz)e2(p2qz)e3. e1,e2,e3为空间的一个基底, Error!解得Error! OD 17OA 5OB 30OC . 用基底表示向量 例2 如图所示,空间四边形OABC中,G、H分别是ABC、OBC的重心,设 OA a,OB b,OC c,试用向量 a、b、c 表示向量G
8、H . 思路点拨 GH OH OG 用OD 表示OH 用OB 、 OC 表示OD ,用OA 、AG 表示OG 用AD 表示AG 用OD 、OA 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 表示AD 用OB 、OC 表示OD 精解详析 GH OH OG ,OH OD , 2 3 OH (OB OC ) (bc), 2 3 1 2 1 3 OG OA AG OA AD 2 3 OA (OD OA )OA (OB OC ) 2 3 1 3 2 3 1 2 a (bc), 1 3 1 3 GH (bc) a (bc) a, 1 3 1 3 1 3 1 3 即GH a. 1 3 一点通 用基底表示向量的
9、方法及注意的问题: (1)结合已知条件与所求结论,观察图形,就近表示所需向量 (2)对照目标,将不符合目标要求的向量作为新的所需向量,如此继续下去,直到所有 向量都符合目标要求为止 (3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则 3. 如图,已知正方体 ABCDABCD,点 E 是上底面 ABCD的中心, 求下列各式中 x、y、z 的值 (1)BD xAD yAB zAA ; (2)AE xAD yAB zAA . 解:(1)BD BD DD BA BC DD AB AD AA , 又BD xAD yAB zAA , x1,y1,z1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
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