2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义:第1部分 第3章 3.2 3.2.3 空间的角的计算 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 32.3 空间的角的计算 对应学生用书P68 山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科技人员为了测量一个山 体的倾斜程度, 甲站在水平地面上的 A 处,乙站在山坡斜面上的 B 处,A、B 两点到直线 l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 30 m 和 40 m,CD 的长为 60 m,AB 的长 为 80 m. 问题 1:如何用向量方法求异面直线 AC 和 BD 所成的角? 提示:设异面直线 AC 与 BD 所成的角为 , 则 cos |cos,BD |.AC 问题 2:如何求斜线 BD 与地面所成角 ? 提示:设地面的法向量为
2、n, 则 sin |cosBD ,n|. 问题 3:如何求水平地面与斜坡面所成的二面角 ? 提示:cos cosCA ,DB 异面直线所 成的角 设两条异面直线a, b所成的角为, 它们的方向向量分别为a、 b.则cos |ab| |a|b| 直线与平面 所成的角 设直线和平面所成的角为 , 且直线的方向向量为 a, 平面的法向量为 b, 则 sin |ab| |a|b| 二面角的平 面角 设二面角 l 的锐二面角大小为 ,且两个半平面的法向量分别为 a,b, 则 cos |ab| |a|b| 对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识 (1)斜线与平面的夹角范围是;而直线与平面的夹角范围是; (
3、0, 2) 0, 2 (2)设AB 在平面 内的射影为A B , 且直线 AB 与平面 的夹角为 , 则|A B |AB 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |cos ; (3)平面 的法向量 n 与AB 所成的锐角 1的余角 就是直线 AB 与平面 所成的角 对应学生用书P69 利用空间向量求异面直线所成的角 例 1 如图所示,三棱柱 OABO1A1B1中,平面 OBB1O1平面 OAB, O1OB60,AOB90,且 OBOO12,OA,求异面直线 A1B 与 AO1所成的角的余弦3 值的大小 思路点拨 1 A B , 1 O A 坐标建系 求A1,B, A,O1坐标 cos 1
4、A B , 1 O A .结论 精解详析 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),3333 1 A B OB 1 OA (,1,),33 1 O A OA 1 OO (,1,)33 cos 1 A B , 1 O A A1B O1A |A1B |O1A | (r(3),1,r(3)(r(3),1,r(3) 7 7 . 1 7 异面直线 A1B 与 AO1所成的角的余弦值为 . 1 7 一点通 求异面直线所成的角的方法及关注点: (1)方法:利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的 角,若
5、求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角 (2)关注点:求角时,常与一些向量的计算联系在一起,如向量的坐标运算、数量积运 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 算及模的运算 1.如图所示,已知在四面体ABCD中,O是BD的中点,CACBCDBD2, ABAD . 2 (1)求证:AO平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值 解:以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 B(1,0,0),D(1,0,0), C(0, ,0),A(0,0,1),3 (1)证明:OA (0,0,1),BD (2,0,0), BC (1, ,0)3
6、 OA BD 0,OA BC 0,OABD,OABC. 又 BDBCB,AO平面 BCD. (2)BA (1,0,1),CD (1,0)3 cosBA ,CD , | 2 4 异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值为. 2 4 2.已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是 1,且A1AB A1ADBAD60,求直线 AC1与 AC 所成角的余弦值 解: 1 AC AB AD 1 AA , AC AB AD , | 1 AC |2AB 2AD 2 1 AA 22AB AD 2AB 1 AA 2AD 1 AA 111 211cos 6036, |AC |2AB 2AD 22AB
7、AD 1113, | 1 AC |,|AC |.63 AC 1 AC (AB AD )(AB AD 1 AA ) AB 2AB AD AB 1 AA AD AB AD 2AD 1 AA 1 1 4, 1 2 1 2 1 2 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 cos 1 AC ,AC , | 4 6 3 2 2 3 即 AC1与 AC 所成角的余弦值为. 2 2 3 求线面角 例 2 (湖南高考)如图,在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,AC BD,BC1,ADAA13. (1)证明:ACB1D; (2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值 思
8、路点拨 以 A 为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系 (1)求出AC 和 1 B D ,证明AC 1 B D 0; (2)求出直线 B1C1的方向向量与平面 ACD1的法向量 精解详析 (1)证明 : 易知, AB, AD, AA1两两垂直 如图, 以 A 为 坐标原点, AB, AD, AA1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系 设 ABt, 则相关各点的坐标为 A(0,0,0), B(t,0,0), B1(t,0,3), C(t,1,0),C1(t,1,3), D(0,3,0),D1(0,3,3) 从而 1 B D (t
9、,3,3),AC (t,1,0),BD (t,3,0) 因为 ACBD,所以AC BD t2300, 解得 t或 t(舍去)33 于是 1 B D (,3,3),AC (,1,0)33 因为AC 1 B D 3300, 所以AC 1 B D ,即 ACB1D. (2)由(1)知, 1 AD (0,3,3),AC (,1,0), 11 B C (0,1,0)3 设 n(x,y,z)是平面 ACD1的一个法向量, 则Error!即Error! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 令 x1,则 n(1,)33 设直线 B1C1与平面 ACD1所成角为 ,则 sin |cosn, 11 B C
10、 |. | n |n| 3 7 21 7 即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为. 21 7 一点通 利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为: (1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系; (2)得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标; (3)利用公式 cosa,b,进行计算,其中向量 a 是直线的方向向量,b 可以是 ab |a|b| 平面的法向量,也可以是直线在平面内射影的方向向量; (4)将a,b转化为所求的线面角 3.如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, ACBC, ACBCCC1, M、 N 分 别是 A1B、 B1C1的中点 (1)求证:MN平面 A1
11、BC; (2)求直线 BC1和平面 A1BC 所成的角的大小 解:(1)证明:根据题意,CA、 CB、 CC1两两垂直,以 C 为原点,CA、 CB、 CC1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标 系,设ACBCCC1a, 则 B(0, a,0), B1(0, a, a), A(a, 0,0), C(0,0,0), C1(0,0, a), A1(a,0, a), M ,N. ( a 2, a 2, a 2) (0, a 2,a) 所以 1 BA (a,a,a), 1 CA (a,0,a), MN . ( a 2,0, a 2) 于是MN 1 BA 0,MN 1 CA 0,
12、即 MNBA1,MNCA1. 又 BA1CA1A1,故 MN平面 A1BC. (2)因为 MN平面 A1BC,则MN 为平面 A1BC 的法向量,又 1 BC (0,a,a), 则 cos 1 BC ,MN , | | | a2 2 2a 2 2 a 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 1 BC ,MN 60. 故直线 BC1和平面 A1BC 所成的角为 30. 4 如图, 已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形, ABCD, ACBD, 垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 的中点 (1)证明:PEBC; (2)若APBADB60,求直线 PA 与平面 PEH
13、 所成角的正弦值 解:(1)证明:以 H 为原点,HA,HB,HP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,线段 HA 的长为单位长,建立空间直角坐标系 Hxyz 如图, 则 A(1,0,0),B(0,1,0) 设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m0),D(0,m,0),E. ( 1 2, m 2,0) 可得PE ,BC (m,1,0) ( 1 2, m 2,n) 因为PE BC 00, m 2 m 2 所以 PEBC. (2)由已知条件可得 m,n1, 3 3 故 C,D,E,P(0,0,1) ( 3 3 ,0,0) (0, 3 3 ,0) ( 1 2, 3 6 ,0) 设 n(x,y
14、,z)为平面 PEH 的法向量, 则Error!即Error! 因此可以取 n(1, ,0)3 又PA (1,0,1),可得|cosPA ,n|, | n n| 1 2 2 2 4 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为. 2 4 求二面角 例 3 (江苏高考)如图, 在直三棱柱 A1B1C1ABC 中, ABAC, AB 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 AC2, A1A4, 点 D 是 BC 的中点 (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 思路点拨 (1)先建系求出 A1B 和 C1D 的方向向量
15、,再求其余弦值; (2)求出平面 ADC1与平面 ABA1的法向量,用向量法求余弦值再转化为正弦值 精解详析 (1)以 A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标 系 Axyz, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,0), A1(0, 0,4), C1(0,2,4), 所以 1 A B (2,0, 4), 1 C D (1, 1, 4) 因为 cos 1 A B , 1 C D ,所以异面直 | 18 20 18 3 10 10 线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为. 3 10 10 (2)设平面 ADC1的法向量为 n1(x,y,z), 因为AD
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