2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析 .pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 21.3推理案例赏析 21.4 对应学生用书P23 归纳推理的应用 例 1 观察如图所示的“三角数阵”: 记第 n 行的第 2 个数为 an(n2,nN*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成 下列各题: (1)第 6 行的 6 个数依次为_、 _、 _、 _、 _、_; (2)依次写出 a2、a3、a4、a5; (3)归纳出 an1与 an的关系式 思路点拨 (1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的 两数之和,得出(1)的结果 (2)由数阵可直接写出答案 (3)写出 a3a2,a4a3,a5a4,从而归纳出(3)的结
2、论 精解详析 (1)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两 数之和,且每一行的首末两数都等于行数 答案 6,16,25,25,16,6 (2)a22,a34,a47,a511 (3)a3a22,a4a33,a5a44, 由此归纳:an1ann. 一点通 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行, 左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了 1设x表示不超过 x 的最大整数,如2,3,kk (kN*) 5 我的发现:3;123 10;45678 21;9101112131415 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 通过归纳推理
3、,写出一般性结论_ _(用 含 n 的 式 子 表 示) 解析 : 第 n 行右边第一个数是, 往后是, , 最后一个是n2n21n22n22n 等号右边是 n(2n1) 答案: n(2n1)n2n21n22n22n 2(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个 顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域? 顶点数边数区域数 (a) (b) (c) (d) (2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某个平面图形有 999 个顶点,且围成了 999 个区域,试根据以上关系确定这 个平面图形有多少条边? 解:
4、(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为 顶点数边数区域数 (a)332 (b)8126 (c)695 (d)10157 (2)观察:3232;86122;6592;107152, 通过观察发现,它们的顶点数 V,边数 E,区域数 F 之间的关系为 VFE2. (3)由已知 V999, F999, 代入上述关系式得 E1 996, 故这个平面图形有 1 996 条边 类比推理的应用 例 2 通过计算可得下列等式: 2313312311; 3323322321; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4333332331; (n1)3n33n23n1. 将以上各等式两边分别相加,得 (
5、n1)3133(1222n2)3(123n)n, 即 122232n2 n(n1)(2n1) 1 6 类比上述求法,请你求出 132333n3的值 思路点拨 类比上面的求法;可分别求出 2414,3424,4434,(n1)4n4,然后 将各式相加求解 精解详析 2414413612411, 3424423622421, 4434433632431, (n1)4n44n36n24n1. 将以上各式两边分别相加, 得(n1)4144(1323n3)6(1222n2)4(12n)n 1323n3Error!Error! n2(n1)2. 1 4 1 4 一点通 (1)解题方法的类比通过对不同题目条
6、件、结论的类比,从而产生解题方法的 迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法 (2)类比推理的步骤与方法 第一步:弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别 第二步:把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对 象在某些方面一致性的含糊认识说清楚 3二维空间中圆的一维侧度(周长)l2r,二维测度(面积)Sr2,观察发现 Sl; 三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2,三维测度(体积)V r3,观察发现 VS.则四 4 3 维空间中“超球”的三维测度 V8r3,猜想其四维测度 W_. 解析:(2r4)8r3. 答案:2r
7、4 4在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有 : c2a2b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN,如果用 S1,S2,S3表示三个侧面的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 面积,S4表示截面的面积,那么你类比得到的结论是_ 解析 : 由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比, 因此所得到的结论为 : S 2 4 S S S . 2 12 22 3 答案:S S S S 2 42 12 22 3 演绎推理的应用 例 3 已知an为等差数列,首项 a11,
8、公差 d0,n1 且 nN*. 求证:lg an1lg an10, an1an1(and)(and)a d21,d0,ana1(n1)d1. lg an0. lg an1lg an1 2 ( lg an1lg an1 2 ) 22(lg an)2, 1 2lg(a n1an1) 1 2lg a 2 n 即 lg an1lg an1(lg an)2. 一点通 三段论推理的根据,从集合的观点来讲,就是 : 若集合 M 的所有元素都具有 性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P. 5如图,棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形,B1CA1B. (1)证明:平面 A
9、B1C平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1上的点,且 A1B平面 B1CD,求 A1DDC1的值 要求:写出每一个三段论的大前提、小前提、结论 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解:(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提),侧面 BCC1B1是菱形(小前提), 所以 B1CBC1(结论) 又线面垂直的判定定理(大前提), B1CA1B,且 A1BBC1B(小前提), 所以 B1C平面 A1BC1(结论) 又面面垂直的判定定理(大前提), B1C平面 AB1C,B1C平面 A1BC(小前提), 所以平面 AB1C平面 A1BC1(结论) (2)设 BC1交 B1C 于点 E,
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