2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第2章 2.2 2.2.1 直接证明 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _2.2直接证明与间接证明 2.2.1 直 接 证 明 对应学生用书 P26 1若实数 a,b 满足 ab3,证明:2a2b4 . 2 证明:因为 2a2b22,2a2b2ab 又 ab3,所以 2a2b24.232 故 2a2b4成立2 问题 1:本题利用什么公式? 提示:基本不等式 问题 2:本题证明顺序是什么? 提示:从已知到结论 2求证:20,20,327 只需证明(2)2. 1 a 1 b 1 c abc 证明:a0,b0,c0,且 abc1, bccaab. 1 a 1 b 1 c 又 bcca222,bccaabc2c 同理 bcab2
2、,caab2.ba a、b、c 不全相等 上述三个不等式中的“”不能同时成立 2(bccaab)2(),cab 即 bccaab,abc 故 . 1 a 1 b 1 c abc 2.(1)如图, 证明命题 “a 是平面 内的一条直线, b 是 外的一条直线(b 不垂直于 ),c 是直线 b 在 上的投影,若 ab,则 ac”为真; (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明) 解:(1)证明:法一:如图,过直线 b 上任一点作平面 的垂线 n,设 直线 a,b,c,n 的方向向量分别是 a,b,c,n,则 b,c,n 共面根据平 面向量基本定理,存在实数 , 使得 cbn, 则 aca
3、(bn)(ab) (an), 因为 ab,所以 ab0, 又因为 a,n,所以 an0, 故 ac0,从而 ac. 法二 : 如图, 记cbA, P为直线b上异于点A的任意一点, 过P作PO, 垂足为 O, 则 Oc. PO,a, 直线 POa. 又 ab,b平面 PAO,PObP, a平面 PAO.又 c平面 PAO,ac. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)逆命题为 : a 是平面 内的一条直线, b 是 外的一条直线(b 不垂直于 ), c 是直线 b 在 上的投影,若 ac,则 ab. 逆命题为真命题 分析法的应用 例 2 已知 ab0,求证:2,abaabb 即b0,
4、0,b0,c0, 要证1, 1abbcca abcabc 只需证 1abbccaabcabc, 即证 1abbcca(abcabc)0. 1abbcca(abcabc) (1a)b(a1)c(a1)bc(1a) (1a)(1bcbc)(1a)(1b)(1c), 又 a1,b1,c1, (1a)(1b)(1c)0, 1abbcca(abcabc)0 成立, 即证明了1. 1abbcca abcabc 一点通 (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难, 这时可考虑 分析法、综合法轮流使用以达到证题目的 (2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法,也可先用综合法再用
5、 分析法,一般无具体要求,只要达到证题的目的即可 5在ABC 中,三个内角 A、B、C 成等差数列求证:. 1 ab 1 bc 3 abc 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 证明:要证, 1 ab 1 bc 3 abc 只需证3,即1, abc ab abc bc c ab a bc 只需证1, c(bc)a(ab) (ab)(bc) 即1. a2c2abbc b2abacbc 下面证明:1. a2c2abbc b2abacbc AC2B,ABC180, B60. b2a2c2ac. 1. a2c2abbc b2abacbc a2c2abbc a2c2acabacbc 故原等式成立
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