2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第2章 2.2 2.2.2 间接证明 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 22.2 间 接 证 明 1问题:在今天商品大战中,广告成了电视节目中的一道美丽的风景线,几乎所有的 广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品,其广告词为:“拥有的人们都幸福, 幸福的人们都拥有” 该广告词实际说明了什么? 提示:说的是:“不拥有的人们不幸福” 2已知正整数 a,b,c 满足 a2b2c2.求证:a,b,c 不可能都是奇数 问题 1:你能利用综合法和分析法给出证明吗? 提示:不能 问题 2:a、b、c 不可能都是奇数的反面是什么?还满足条件 a2b2c2吗? 提示:都是奇数若 a、b、c 都是奇数,则不能满足条件 a2b2c2.
2、1间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立, 这种不是直接证明的方法通常称为间接证 明反证法就是一种常用的间接证明方法,间接证明还有同一法、枚举法等 2反证法 (1)反证法证明过程 反证法证明时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否 定(即肯定原命题),用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用下面的框图表示: 肯定条件p 否定结论q 导致逻 辑矛盾 “p且q”为假 “若p则 q”为真 (2)反证法证明命题“若 p 则 q”的步骤 反设假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真 归谬从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果 存真由矛盾
3、结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立 1反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论 证的一种数学证明方法 2可能出现矛盾的四种情况:(1)与题设矛盾;(2)与反设矛盾;(3)与公理、定理或已被 证明了的结论矛盾;(4)在证明过程中,推出自相矛盾的结论 对应学生用书P30 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 用反证法证明否定性命题 例 1 已知平面上四点,没有三点共线,求证:以每三点为顶点的三角形不可能都是 锐角三角形 思路点拨 本题证明的命题是否定性命题, 解答时先假设四个三角形都是锐角三角形, 再分情况去推出矛盾 精解详析 假设以每三点为顶点的四个三角
4、形都是锐角三角形,记这四个点为 A、B、 C、D,考虑ABC,点 D 的位置分为在ABC 之内或之外两种情况 (1)如果点 D 在ABC 之内(如图(1),根据假设围绕点 D 的三个角都是锐角,其和小于 270,这与一个周角等于 360矛盾 (2)如果点 D 在ABC 之外(如图(2),根据假设A,B,C,D 都小于 90,这和 四边形内角之和等于 360矛盾 综上所述原结论成立 一点通 (1)结论中含有“不” 、 “不是” 、 “不可能” 、 “不存在”等词语的命题称为否定 性命题,此类问题正面比较模糊,而反面比较具体,适于应用反证法 (2)反证法属于逻辑方法范畴, 它的严谨体现在它的原理上
5、, 即 “否定之否定等于肯定” , 其中:第一个否定是指“否定结论(假设)” ;第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假 设” 反证法属“间接解题方法” 1实数 a、b、c 不全为 0 等价于_(填序号) a, b, c 全不为 0; a, b, c 中最多只有一个为 0; a, b, c 中只有一个不为 0; a, b, c 中至少有一个不为 0. 解析:“不全为 0”等价于“至少有一个不为 0” 答案: 2.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 M 是 A1D1的中点,点 N 是 CD 的中点,用反 证法证明直线 BM 与直线 A1N 是两条异面直线 解:假设直线 BM 与 A1N 共
6、面 则 A1D1平面 A1BND1, 且平面 A1BND1平面 ABCDBN, 由正方体特征知 A1D1平面 ABCD,故 A1D1BN, 又 A1D1BC,所以 BNBC. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 这与 BNBCB 矛盾,故假设不成立 所以直线 BM 与直线 A1N 是两条异面直线 3已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证:, , 不成等差abc 数列 证明:假设, ,成等差数列,abc 则2,acb 即 ac24b,ac 而 b2ac,即 b,ac24,acacac 所以()20.即,acac 从而 abc,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故,
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