2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 2.3.2 抛物线的简单几何性质 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 23.2 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 第一课时 抛物线的简单几何性质第一课时 抛物线的简单几何性质 读教材读教材填要点填要点 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 类型类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py (p0) 图象图象 焦点焦点F(p 2, ,0) F(p 2, ,0) F(0, ,p 2) F(0, ,p 2) 准线准线xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围范围x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0 对称轴对称轴x 轴轴y 轴轴 顶点顶点O(0,0) 离心率离心率e1 性 质 性 质 开口方
2、向开口方向向右向右向左向左向上向上向下向下 小问题小问题大思维大思维 1抛物线抛物线 y22px(p0)有几条对称轴?是否是中心对称图形?有几条对称轴?是否是中心对称图形? 提示:有一条对称轴,即提示:有一条对称轴,即 x 轴,不是中心对称图形轴,不是中心对称图形 2抛物线上一点与焦点抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫作焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得 弦叫作焦点弦,若 的连线的线段叫作焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得 弦叫作焦点弦,若 P(x0,y0)是抛物线上任意一点,焦点弦的端点为是抛物线上任意一点,焦点弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 根据上述定义,你能完成
3、以下表格吗? , 根据上述定义,你能完成以下表格吗? 标准方程标准方程 y2 2px(p0) y2 2px(p0) x2 2py(p0) x2 2py(p0) 焦半径焦半径 |PF| |PF|_|PF|_|PF|_|PF|_ 焦点弦焦点弦|AB|_|AB|_|AB|_|AB|_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |AB| 提示:提示: 标准方程标准方程y22px(p0) y2 2px(p0) x2 2py(p0) x22py(p0) 焦半径焦半径|PF| |PF|x0p 2 |PF|p 2 x0 |PF|y0 p 2 |PF| y0 p 2 焦点弦焦点弦|AB| |AB|x1x2 p
4、 |AB|p x1x2 |AB|y1 y2p |AB|py1y2 抛物线方程及其几何性质抛物线方程及其几何性质 已知顶点在原点,以已知顶点在原点,以 x 轴为对称轴,且过焦点垂直于轴为对称轴,且过焦点垂直于 x 轴的弦轴的弦 AB 的长为的长为 8, 求出抛物线的方程,并指出它的焦点坐标和准线方程 , 求出抛物线的方程,并指出它的焦点坐标和准线方程 自主解答自主解答 当焦点在 当焦点在 x 轴的正半轴上时,轴的正半轴上时, 设方程为设方程为 y22px(p0) 当当 x 时, 时,yp, p 2 由由|AB|2p8,得,得 p4. 故抛物线方程为故抛物线方程为 y28x, 焦点坐标为焦点坐标为
5、(2,0),准线方程为,准线方程为 x2. 当焦点在当焦点在 x 轴的负半轴上时,轴的负半轴上时, 设方程设方程 y22px(p0) 由对称性知抛物线方程为由对称性知抛物线方程为 y28x, 焦点坐标为焦点坐标为(2,0),准线方程为,准线方程为 x2. 用待定系数法求抛物线的标准方程,其主要步骤为:用待定系数法求抛物线的标准方程,其主要步骤为: 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1已知抛物线的焦点已知抛物线的焦点 F 在在 x 轴上,直线轴上,直线 l 过过 F 且垂直于且垂直于 x 轴,轴,l 与抛物线交于与抛物线交于 A,B 两点,两点,O 为坐标原点,若为坐标原点,若OAB
6、的面积等于的面积等于 4,求此抛物线的标准方程,求此抛物线的标准方程 解:由题意,抛物线方程为解:由题意,抛物线方程为 y22px(p0), 焦点焦点 F,直线,直线 l:x , , ( p 2, ,0) p 2 A,B 两点坐标为,两点坐标为,. ( p 2, ,p) ( p 2, , p) |AB|2|p|. OAB 的面积为的面积为 4, 2|p|4. 1 2| p 2| p2 . 2 抛物线方程为抛物线方程为 y24x.2 抛物线几何性质的应用抛物线几何性质的应用 已知已知 A, B 是抛物线是抛物线 y22px(p0)上两点,上两点, O 为坐标原点, 若为坐标原点, 若|OA|OB
7、|, 且, 且 AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线 AB 的方程的方程 自主解答自主解答 |OA|OB|, 设设 A,B 坐标分别为坐标分别为 A(x0,y0),B(x0,y0) AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点的垂心恰是此抛物线的焦点 F, kFAkOB1, 即即1, y0 x0p 2 ( y0 x0) y x02px0(x00,p0) 2 0 (x 0 p 2) x0 p.直线直线 AB 的方程为的方程为 x p. 5 2 5 2 若将“若将“AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OAOB” ,求” ,求|AB|的值的
8、值 解:由题意知,解:由题意知,AOB 为等腰直角三角形,且为等腰直角三角形,且 A,B 两点关于两点关于 x 轴对称轴对称 如图,设如图,设 A(x0,y0),则,则 kOA1 且且 y 2px0, y0 x0 2 0 x0y02p, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |AB|2y04p. 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中 又容易忽视这些隐含条件 本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中 又容易忽视这些隐含条件 本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段 AB 垂直于垂直
9、于 x 轴 故 求直线 轴 故 求直线 AB 的方程时求出的方程时求出 A 的横坐标即可的横坐标即可 2已知已知 A,B 是抛物线是抛物线 y22px(p0)上两点,上两点,O 为坐标原点,若为坐标原点,若 OAOB,且,且 OA 的 方程为 的 方程为 y2x,|AB|5,求抛物线的方程,求抛物线的方程3 解:解:OAOB,AOB 为直角三角形为直角三角形 OA 所在直线为所在直线为 y2x, OB 所在直线方程为所在直线方程为 y x. 1 2 由由Error!得得 A 点坐标点坐标. ( p 2, ,p) 由由Error!得得 B 点坐标为点坐标为(8p,4p) |AB|5,3 5. p
10、 4p 2 (p 2 8p)23 p0,解得,解得 p, 2 39 13 所求抛物线方程为所求抛物线方程为 y2x. 4 39 13 抛物线中过焦点的弦长问题抛物线中过焦点的弦长问题 过抛物线过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),若,若|AB|7, 求 , 求 AB 的中点的中点 M 到抛物线准线的距离到抛物线准线的距离 自主解答自主解答 抛物线的焦点为 抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为,准线方程为 x1.由抛物线定义知由抛物线定义知 |AB|AF|BF|x1 x2 x1x2p, p 2 p 2 即即 x1x227,得
11、,得 x1x25, 于是弦于是弦 AB 的中点的中点 M 的横坐标为 ,的横坐标为 , 5 2 因此点因此点 M 到抛物线准线的距离为 到抛物线准线的距离为 1 . 5 2 7 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 抛物线抛物线 y22px(p0)的过焦点的弦长的过焦点的弦长|AB|x1x2p,其中,其中 x1,x2分别是点分别是点 A,B 横 坐标的绝对值;抛物线 横 坐标的绝对值;抛物线 x22py(p0)的过焦点的弦长的过焦点的弦长|AB|y1y2p,其中,其中 y1,y2分别是 点 分别是 点 A,B 纵坐标的绝对值纵坐标的绝对值 3已知直线已知直线 l:y4x6 与抛物线与
12、抛物线 y26x 交于交于 A,B 两点,求两点,求|AB|. 解 : 设点解 : 设点 A,B 的坐标分别是的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)联立联立Error!消去消去 y 得得 8x227x180, 则则 x1,x2是方程的两根,是方程的两根, x1x2. 27 8 y4x64过抛物线的焦点,过抛物线的焦点, (x 3 2) ( 3 2, ,0) |AB|x1x233. 27 8 51 8 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路 已知抛物线的顶点在坐标原点, 对称轴为已知抛物线的顶点在坐标原点, 对称轴为
13、x 轴, 且与圆轴, 且与圆 x2y24 相交于相交于 A, B 两点,两点, |AB| 2,求抛物线方程,求抛物线方程3 巧思巧思 抛物线与圆相交,根据已知可设抛物线方程为 抛物线与圆相交,根据已知可设抛物线方程为 y2ax(a0),由圆和抛物线的 对称性,可判断 ,由圆和抛物线的 对称性,可判断 A 与与 B 关于关于 x 轴对称,结合轴对称,结合|AB|2可得可得 A,B 坐标,从而求出方程坐标,从而求出方程3 妙解妙解 由已知抛物线的焦点可能在 由已知抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上,也可能在负半轴上轴正半轴上,也可能在负半轴上 故可设抛物线方程为故可设抛物线方程为 y2ax(a0)
14、 设抛物线与圆设抛物线与圆 x2y24 的交点的交点 A(x1,y1),B(x2,y2) 抛物线抛物线 y2ax(a0)与圆与圆 x2y24 都关于都关于 x 轴对称,轴对称, 点点 A 与与 B 关于关于 x 轴对称轴对称 |y1|y2|且且|y1|y2|2 . 3 |y1|y2| . 3 代入圆代入圆 x2y24 得得 x234,解得,解得 x1, A(1,)或或 A(1,)33 代入抛物线方程,得代入抛物线方程,得()2a,a3.3 所求抛物线方程是所求抛物线方程是 y23x 或或 y23x. 1顶点在原点,焦点为顶点在原点,焦点为 F的抛物线的标准方程是的抛物线的标准方程是( ) (
15、3 2, ,0) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Ay2 x By23x 3 2 Cy26xDy26x 解析:抛物线的焦点为,解析:抛物线的焦点为, ( 3 2, ,0) p3,且抛物线开口向右,且抛物线开口向右, 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为 y26x. 答案:答案:C 2抛物线抛物线 y28x 上的点上的点 P 到焦点的距离的最小值是到焦点的距离的最小值是( ) A2B4 C6D8 解析 : 设抛物线上的点解析 : 设抛物线上的点 P 的坐标为的坐标为(x0,y0),则,则 P 点到焦点的距离点到焦点的距离 d|x0| ,故 ,故 dmin p 2 2. p 2 答案:
16、答案:A 3边长为边长为 1 的等边三角形的等边三角形 OAB,O 为原点,为原点,ABx 轴,以轴,以 O 为顶点且过为顶点且过 A,B 的抛物 线方程为 的抛物 线方程为( ) Ay2xBy2x 3 6 3 6 Cy2xDy2x 3 6 3 3 解析 : 由题意可知, 抛物线的对称轴为解析 : 由题意可知, 抛物线的对称轴为 x 轴, 当抛物线开口向右时, 设抛物线方程为轴, 当抛物线开口向右时, 设抛物线方程为 y2 2px(p0),且,且 A 为为 x 轴上方的点,则易求轴上方的点,则易求 A, ( 3 2 , ,1 2) p.p. 1 4 3 3 12 抛物线方程为抛物线方程为 y2
17、x. 3 6 同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为同理,当抛物线开口向左时,抛物线方程为 y2x. 3 6 答案:答案:C 4 已知 已知 AB 是抛物线是抛物线 2x2y 的焦点弦, 若的焦点弦, 若|AB|4, 则, 则 AB 的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为_ 解析 : 设解析 : 设 AB 的中点为的中点为 P(x0, y0), 分别过, 分别过 A, P, B 三点作准线的垂线, 垂足分别为三点作准线的垂线, 垂足分别为 A, Q, Q, B.由题意得由题意得|AA|BB|AB|4, |PQ Q|2.又又|PQ Q|y0 , 所以 , 所以 y0 |AA|BB| 2 1 8 2,解
18、得,解得 y0. 1 8 15 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:答案:15 8 5抛物线抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_ 解析:设所求点解析:设所求点(x0,y0),则,则 x y 2, , 2 02 0 (x 0 1 4) 又又 y x0, 2 0 x0 .y0. 1 8 2 4 答案:答案:(1 8, , 2 4) 6已知过抛物线已知过抛物线 y24x 的焦点的焦点 F 的弦长为的弦长为 36,求弦所在的直线的方程,求弦所在的直线的方程 解:抛物线解:抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F(1,0), 过焦点过
19、焦点 F,垂直于,垂直于 x 轴的弦长为轴的弦长为 436. 弦所在直线斜率存在,弦所在直线斜率存在, 由题意可设弦所在的直线的斜率为由题意可设弦所在的直线的斜率为 k,且与抛物线交于,且与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点两点 设直线方程为设直线方程为 yk(x1) 由由Error!消去消去 y, 整理得整理得 k2x2(2k24)xk20, x1x2. 2k24 k2 |AB|AF|BF|x1x222. 2k24 k2 又又|AB|36, 236. 2k24 k2 k. 2 4 故所求直线的方程为故所求直线的方程为 yx1 或或 yx1. 2 4 2 4 一、选择题一、选择
20、题 1设抛物线的焦点到顶点的距离为设抛物线的焦点到顶点的距离为 3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 ( ) A(6,)B6,) C(3,)D3,) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:抛物线的焦点到顶点的距离为解析:抛物线的焦点到顶点的距离为 3, 3,即,即 p6. p 2 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 ,又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 , p 2 抛物线上的点到准线的距离的取值范围为抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3,) 答案:答案:D 2 过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是 过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的
21、弦是AB, 抛物线的准线交, 抛物线的准线交x轴于点轴于点M, 则, 则AMB 是是( ) A锐角锐角B直角直角 C钝角钝角D锐角或钝角锐角或钝角 解析:由题意可得解析:由题意可得|AB|2p. 又焦点到准线距离又焦点到准线距离|FM|p,F 为为 AB 中点,中点, |FM| |AB|. 1 2 AMB 为直角三角形且为直角三角形且AMB90. 答案:答案:B 3 已知抛物线 已知抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 F, 准线, 准线 l 交交 x 轴于轴于 R, 过抛物线上点, 过抛物线上点 P(4, , 4)作作 PQQl 于 Q,则梯形于 Q,则梯形 PQ QRF 的面积是的面积是(
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