2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 2.4 圆锥曲线的应用 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.4圆锥曲线的应用圆锥曲线的应用 椭圆、双曲线的应用椭圆、双曲线的应用 我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称 “地心”简称 “地心” )F2为一 个焦点的椭圆已知它的近地点 为一 个焦点的椭圆已知它的近地点 A(离地面最近的点离地面最近的点)距地面距地面 439 km, 远 地点 , 远 地点 B(离地面最远的点离地面最远的点)距地面距地面 2 384 km, AB 是椭圆的长轴,地球半径 约为 是椭圆的长轴,地球半径 约为 6 371 km 如图所示,以直线如图所示,以直线 AB
2、为为 x 轴,线段轴,线段 AB 的中垂线为的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系轴,建立直角坐标系 xOy,AB 与地球交于与地球交于 C,D 两点求卫星运行的轨道方程两点求卫星运行的轨道方程(结果精确到结果精确到 1 km) 自主解答自主解答 设椭圆方程为 设椭圆方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 由题意知由题意知 |AC|439,|BD|2 384,|F2C|F2D|6 371. ac|OA|OF2|F2A|4396 3716 810, ac|OB|OF2|F2B|2 3846 3718 755, 解得解得 a7 782.5,c972.5, 所以所以 b7 722.a2c2 a c
3、a c 因此,卫星运行的轨道方程是因此,卫星运行的轨道方程是1. x2 7 7832 y2 7 7222 (1)有关椭圆的轨迹问题,应注意如下结论的直接应用:“椭圆上到一焦点的距离最大 和最小的点,恰是椭圆长轴的两个端点” 有关椭圆的轨迹问题,应注意如下结论的直接应用:“椭圆上到一焦点的距离最大 和最小的点,恰是椭圆长轴的两个端点” (2)解决实际应用题的一般思路是:首先根据题意画出几何图形,并建立合适的平面直 角坐标系;然后设出待求椭圆、双曲线的标准方程,找出题中已知的量和隐含的关系式, 求解方程 解决实际应用题的一般思路是:首先根据题意画出几何图形,并建立合适的平面直 角坐标系;然后设出待
4、求椭圆、双曲线的标准方程,找出题中已知的量和隐含的关系式, 求解方程 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路 AP, BP 运到运到 P 处,如 图所示, 处,如 图所示, PA100 m, PB150 m, , APB60, 试说明怎样运土才能最省工, 试说明怎样运土才能最省工 解 : 以解 : 以 AB 所在直线为所在直线为 x 轴,轴, AB 的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系 设轴建立如图所示的直角坐标系 设 M 是分界线上的点,则有是分界
5、线上的点,则有|MA|PA|MB|PB|,于是有,于是有|MA|MB|PB| |PA|15010050.这说明这条分界线是以这说明这条分界线是以 A,B 为焦点的双曲线的右 支,在 为焦点的双曲线的右 支,在APB 中,由余弦定理得:中,由余弦定理得:|AB|2|AP|2|PB|22|AP|PB|cos 6017 500,从而,从而 a25, c24 375, b2c2a23 750, 所以所求分, 所以所求分 |AB|2 4 界线方程为 :界线方程为 :1(x25),于是运土时,将此双曲线左侧的土沿,于是运土时,将此双曲线左侧的土沿 AP 运到运到 P 点,点, x2 625 y2 3 75
6、0 右侧的土沿右侧的土沿 BP 运到运到 P 点最省工点最省工 抛物线的应用抛物线的应用 一辆卡车高一辆卡车高 3 m,宽,宽 1.6 m,欲通过截面为抛物线型的隧道,已知拱口宽,欲通过截面为抛物线型的隧道,已知拱口宽 AB 恰好是拱高的恰好是拱高的 4 倍,若拱口宽为倍,若拱口宽为 a m,求能使卡车通过的,求能使卡车通过的 a 的最小整数值的最小整数值 自主解答自主解答 以拱顶为原点,拱高所在直线为 以拱顶为原点,拱高所在直线为 y 轴,建立直角坐标系,如 图所示,设抛物线方程为 轴,建立直角坐标系,如 图所示,设抛物线方程为 x22py(p0),则点,则点 B 的坐标为,的坐标为, (
7、a 2, , a 4) 由点由点 B 在抛物线上,在抛物线上, 得得 2 2p,所以,所以 p , , ( a 2) ( a 4) a 2 所以抛物线方程为所以抛物线方程为 x2ay. 将点将点(0.8,y0)代入抛物线方程,得代入抛物线方程,得 y0. 0.64 a 欲使卡车通过隧道,应有 欲使卡车通过隧道,应有 |y0| 3. a 4 a 4 0.64 a 解得解得 a12.21,或,或 a0.21(舍去舍去) a 取整数,取整数,a 的最小值为的最小值为 13. 在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立 坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过
8、原点,方程不含常数项,形式 更为简单,便于应用 在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立 坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式 更为简单,便于应用 2.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽为时,水面宽为 8 m,一 木船宽 ,一 木船宽 4 m, 高, 高 2 m,载货后木船露在水面上的部分高为,载货后木船露在水面上的部分高为 m,则水面上涨到,则水面上涨到 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 与拱顶相距多 少时,木船开始不能通航?与拱顶相距多 少时
9、,木船开始不能通航? 解:以拱桥拱顶为坐标原点,拱高所在直线为解:以拱桥拱顶为坐标原点,拱高所在直线为 y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物 线方程为 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物 线方程为 x22py(p0)由题意知,点由题意知,点 A(4,5)在在 抛物线抛物线 x22py(p0)上,上, 162p(5),2p. 16 5 抛物线方程为抛物线方程为 x2y(4x4) 16 5 设水面上涨, 船面两侧与抛物线拱桥接触于设水面上涨, 船面两侧与抛物线拱桥接触于 B, B时, 船开始不能通航, 设时, 船开始不能通航, 设 B(2, y), 由 , 由 22y,得,得 y , , 16 5
10、5 4 水面与抛物线拱顶相距水面与抛物线拱顶相距 |y| 2(m)故水面上涨到与抛物线拱顶相距故水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 m 时,船开始不能通航时,船开始不能通航 3 4 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路 已知椭圆已知椭圆1(ab0)与与 x 轴的交点为轴的交点为 A1,A2,P 是椭圆上任一点,是椭圆上任一点,F 是它的一个是它的一个 x2 a2 y2 b2 焦点,证明:以线段焦点,证明:以线段 PF 为直径的圆与以线段为直径的圆与以线段 A1A2为直径的圆相切为直径的圆相切 巧思巧思 判断两圆的位置关系,
11、即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系若 判断两圆的位置关系,即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系若 M 为为 PF 的中点,则圆心距为的中点,则圆心距为|OM|. 妙解妙解 由椭圆方程 由椭圆方程1(ab0)知,知, x2 a2 y2 b2 以线段以线段 A1A2为直径的圆为为直径的圆为 x2y2a2. 设设 F1是椭圆的另外一个焦点,点是椭圆的另外一个焦点,点 M 是线段是线段 PF 的中点,的中点, 则则|MO| |PF1| (2a|PF|)a |PF|. 1 2 1 2 1 2 即以线段即以线段 A1A2为直径的圆为直径的圆(圆心为圆心为 O)与以线段与以线段 PF 为直径的圆为
12、直径的圆(圆心为圆心为 M)的圆心距等于 两圆的半径之差,于是两圆相切 的圆心距等于 两圆的半径之差,于是两圆相切 1若方程若方程1 表示焦点在表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数轴上的椭圆,则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) x2 a2 y2 a 6 A(3,) B(,2) C(,2)(3,) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 D(3,)(6,2) 解析:要满足方程解析:要满足方程1 表示焦点在表示焦点在 x 轴上的椭圆需有轴上的椭圆需有Error!解得解得63. 答案:答案:D 2已知双曲线已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线的两条渐近线与抛物线 y22px(p0
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