2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 章末小结 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面,一般要先确定 焦点的位置, 再确定参数, 当焦点位置不确定时, 要分情况讨论, 也可将方程设为一般形式 : 椭圆方程为 求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面,一般要先确定 焦点的位置, 再确定参数, 当焦点位置不确定时, 要分情况讨论, 也可将方程设为一般形式 : 椭圆方程为 Ax2By21(A0,B0,AB); 双曲线方程为; 双曲线方程为 Ax2By21(AB0,b0)的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 yx, x2 a
2、2 y2 b2 5 2 且与椭圆 且与椭圆 1 有公共焦点,则有公共焦点,则 C 的方程为的方程为( ) x2 12 y2 3 A.1B. 1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C. 1D. 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 解析:根据双曲线解析:根据双曲线 C 的渐近线方程为的渐近线方程为 yx, 5 2 可知 可知 . b a 5 2 又椭圆 又椭圆 1 的焦点坐标为的焦点坐标为(3,0)和和(3,0), x2 12 y2 3 所以所以 a2b29. 根据可知根据可知 a24,b25, 所以所以 C 的方程为 的方程为 1. x2 4 y2 5 答案:答案:B 4 抛物线
3、 抛物线y22px(p0)上有上有A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)三点,三点, F是它的焦点, 若是它的焦点, 若|AF|, |BF|, |CF|成等差数列,则成等差数列,则( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Ax1,x2,x3成等差数列成等差数列 By1,y2,y3成等差数列成等差数列 Cx1,x3,x2成等差数列成等差数列 Dy1,y3,y2成等差数列成等差数列 解析:由抛物线定义:解析:由抛物线定义: |AF|AA|,|BF|BB|,|CF|CC|. 2|BF|AF|CF|, 2|BB|AA|CC|. 又又|AA|x1 , ,|BB|x2 ,
4、 ,|CC|x3 , , p 2 p 2 p 2 2x1 x3 2x2x1x3. (x 2 p 2) p 2 p 2 答案:答案:A 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 例例3 已知椭圆的一个顶点为 已知椭圆的一个顶点为A(0, , 1), 焦点在, 焦点在x轴上, 若右焦点到直线轴上, 若右焦点到直线xy202 的距离为的距离为 3. (1)求椭圆的方程;求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线设椭圆与直线 ykxm(k0)相交于不同的两点相交于不同的两点 M,N,当,当|AM|AN|时,求时,求 m 的 取值范围 的 取值范围 解解 (1)依题意可设椭圆方程为依题意可设椭圆方程为y
5、21(a1), x2 a2 则右焦点则右焦点 F(,0),a21 由题设,知由题设,知3, | a 2 12 2| 2 解得解得 a23,故所求椭圆的方程为,故所求椭圆的方程为y21. x2 3 (2)设点设点 P 为弦为弦 MN 的中点,由的中点,由Error! 得得(3k21)x26mkx3(m21)0, 由于直线与椭圆有两个交点,由于直线与椭圆有两个交点, 所以所以 0,即,即 m2m2, 解得解得 00, 2m 1 3 解得解得 m , 1 2 故所求故所求 m 的取值范围是的取值范围是. ( 1 2, ,2) 讨论直线与圆锥曲线的位置关系,一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立,组成方程
6、 组,消去一个未知数,转化为关于 讨论直线与圆锥曲线的位置关系,一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立,组成方程 组,消去一个未知数,转化为关于 x(或或 y)的一元二次方程,由根与系数的关系求出的一元二次方程,由根与系数的关系求出 x1x2, x1x2(或或 y1y2,y1y2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题 5设抛物线设抛物线 y24x 截直线截直线 y2xk 所得弦长所得弦长|AB|3 . 5 (1)求求 k 的值;的值; (2)以弦以弦 AB 为底边,为底边,x 轴上的轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为点为顶点组成的三角形面积为 39
7、时,求点时,求点 P 的坐标的坐标 解:解:(1)设设 A(x1,y1),B(x2,y2) 由由Error!得得 4x24(k1)xk20, 16(k1)216k20,k . 1 2 又由根与系数的关系有又由根与系数的关系有 x1x21k,x1x2, k2 4 |AB| x1x2 2 y1y2 2 122 x 1 x2 24x1x2 ,512k 即即3,k4.5 1 2k 5 (2)设设 x 轴上点轴上点 P(x,0),P 到到 AB 的距离为的距离为 d, 则则 d, |2x0 4| 5 |2x 4| 5 S PAB 339, 1 2 5 |2x 4| 5 |2x4|26,x15 或或 x1
8、1. P 点坐标为点坐标为(15,0)或或(11,0). 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题圆锥曲线中的定点、定值、最值问题 例例 4 (2017全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆 C:1(ab0),四点,四点 P1(1,1),P2(0,1),P3 x2 a2 y2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ,P4中恰有三点在椭圆中恰有三点在椭圆 C 上上 ( 1, , 3 2) (1, , 3 2) (1)求求 C 的方程;的方程; (2)设直线设直线 l 不经过不经过 P2点且与点且与 C 相交于相交于 A,B 两点若直线两点若直线 P2A 与直线与直线 P2B 的斜率的和 为 的斜率的
9、和 为1,证明:,证明:l 过定点过定点 解析解析 (1)由于由于 P3,P4两点关于两点关于 y 轴对称,轴对称, 故由题设知椭圆故由题设知椭圆 C 经过经过 P3,P4两点两点 又由又由知,椭圆知,椭圆 C 不经过点不经过点 P1, 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2 所以点所以点 P2在椭圆在椭圆 C 上上 因此因此Error!解得解得Error! 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 4 (2)证明:设直线证明:设直线 P2A 与直线与直线 P2B 的斜率分别为的斜率分别为 k1,k2. 如果如果 l 与与 x 轴垂直, 设轴垂直, 设 l: xt, 由题设知, 由题
10、设知 t0, 且, 且|t|0. 设设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则则 x1x2,x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 而而 k1k2 y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 . 2kx1x2 m1 x1x2 x1x2 由题设由题设 k1k21, 故故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 即即(2k1)(m1)0. 4m24 4k21 8km 4k21 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得解得 k. m 1 2 当且仅当当且仅当 m1 时,时,0,于是,于是 l:yxm,即,即 y1(x2),所以,所以 l m 1 2 m 1
11、2 过定点过定点(2,1) (1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长轴、 短轴,双曲线的虚轴、实轴,抛物线的焦点等,可以通过直接计算求解,也可用“特例法” 和“相关系数法” 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长轴、 短轴,双曲线的虚轴、实轴,抛物线的焦点等,可以通过直接计算求解,也可用“特例法” 和“相关系数法” (2)圆锥曲线中的最值问题,通常有两类:一类是有关长度、面积等的最值问题;一类 是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题,这两类问题的解决往往要通过回归定义,结合几 何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及数形
12、结合、设参、转化代换 等途径来解决 圆锥曲线中的最值问题,通常有两类:一类是有关长度、面积等的最值问题;一类 是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题,这两类问题的解决往往要通过回归定义,结合几 何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及数形结合、设参、转化代换 等途径来解决 6设椭圆 设椭圆 1 上的动点上的动点 P(x,y),点,点 A(a,0)(0a3)若若|AP|的最小值为的最小值为 1,求,求 a x2 9 y2 4 的值的值 解:解:|AP|2(xa)2y2(xa)24(1x 2 9) 2 4. 5 9(x 9a 5) 4a2 5 因为因为1 ,所以 ,所以1,0|x|3.
13、x2 9 y2 4 x2 9 (1)当当 03,即,即 0a 时, 时, 9a 5 5 3 x,|AP|2取最小值取最小值 41. 9a 5 4a2 5 解得解得 a.因为 ,所以因为 ,所以 a 不存在不存在 15 2 15 2 5 3 (2)当当3,即 ,即 a3 时,时, 9a 5 5 3 x3,|AP|2取最小值取最小值 2 41. 5 9(3 9a 5) 4a2 5 解得解得 a2 或或 a4(舍舍) 所以,当所以,当 a2 时,时,|AP|的最小值为的最小值为 1. 7过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F 的直线交抛物线于的直线交抛物线于 A,B 两点,点两点,点
14、C 在抛物线的准 线上,且 在抛物线的准 线上,且 BCx 轴,证明:直线轴,证明:直线 AC 经过原点经过原点 O. 证明:如图所示证明:如图所示 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 抛物线抛物线 y22px(p0)的焦点为的焦点为 F, ( p 2, ,0) 经过点经过点 F 的直线的直线 AB 的方程可设为的方程可设为 xmy ,代入抛物线方程得 ,代入抛物线方程得 y22pmyp20, p 2 设设 A(x1,y1),B(x2,y2),则,则 y1,y2是该方程的两个根,是该方程的两个根, y1y2p2, BCx 轴,且点轴,且点 C 在准线在准线 x 上, 上, p 2 点点
15、 C 的坐标为,的坐标为, ( p 2, ,y 2) 故直线故直线 CO 的斜率的斜率 k, y2 p 2 2y2 p y1 x1 即即 k 也是直线也是直线 OA 的斜率,的斜率, 直线直线 AC 经过原点经过原点 O. (时间时间 120 分钟,满分分钟,满分 150 分分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1(2017浙江高考浙江高考)椭圆 椭圆 1 的离心率是的离心率是( ) x2 9 y2 4 A.
16、B. 13 3 5 3 C.D. 2 3 5 9 解析:根据题意知,解析:根据题意知,a3,b2,则,则 c,椭圆的离心率,椭圆的离心率 e .a2b25 c a 5 3 答案:答案:B 2如果方程如果方程 x2ky22 表示焦点在表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是的取值范围是( ) A(1,)B(1,2) C.D(0,1) ( 1 2, ,1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析:由解析:由 x2ky22,得 ,得 1, x2 2 y2 2 k 又椭圆的焦点在又椭圆的焦点在 y 轴上,轴上, 2,即,即 0k1. 2 k 答案:答案:D
17、3若抛物线若抛物线 x22ay 的焦点与椭圆 的焦点与椭圆 1 的下焦点重合,则的下焦点重合,则 a 的值为的值为( ) x2 3 y2 4 A2B2 C4D4 解析:椭圆 解析:椭圆 1 的下焦点为的下焦点为(0,1), x2 3 y2 4 1,即,即 a2. a 2 答案:答案:A 4 是任意实数,则方程是任意实数,则方程 x2y2sin 4 的曲线不可能是的曲线不可能是( ) A椭圆椭圆B双曲线双曲线 C抛物线抛物线D圆圆 解析:由于解析:由于 R,对,对 sin 的值举例代入判断的值举例代入判断 sin 可以等于可以等于 1,这时曲线表示圆,这时曲线表示圆,sin 可以小于可以小于 0
18、,这时曲线表示双曲线,这时曲线表示双曲线,sin 可 以大于 可 以大于 0 且小于且小于 1,这时曲线表示椭圆,这时曲线表示椭圆 答案:答案:C 5已知椭圆已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线的右焦点与抛物线 C:y28x 的焦的焦 1 2 点重合,点重合,A,B 是是 C 的准线与的准线与 E 的两个交点,则的两个交点,则|AB|( ) A3B6 C9D12 解析:抛物线解析:抛物线 y28x 的焦点为的焦点为(2,0), 椭圆中椭圆中 c2, 又 ,又 ,a4,b2a2c212, c a 1 2 从而椭圆的方程为从而椭圆的方程为1
19、. x2 16 y2 12 抛物线抛物线 y28x 的准线为的准线为 x2, xAxB2, 将将 xA2 代入椭圆方程可得代入椭圆方程可得|yA|3, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由图象可知由图象可知|AB|2|yA|6.故选故选 B. 答案:答案:B 6设已知抛物线设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过,过 F 的直线的直线 l 与抛物线与抛物线 C 相交 于 相交 于 A,B 两点,若直线两点,若直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 45,则弦,则弦 AB 的中点坐标为的中点坐标为( ) A(1,0)B(2,2) C(3,2)D(2,
20、4) 解析:依题意得,抛物线解析:依题意得,抛物线 C 的方程是的方程是 y24x,直线,直线 l 的方程是的方程是 yx1.由由Error!消去消去 y 得得(x1)24x, 即即 x26x10.因此线段因此线段 AB 的中点的横坐标是 的中点的横坐标是 3,纵坐标是,纵坐标是 y312.所以线段所以线段 6 2 AB 的中点坐标是的中点坐标是(3,2) 答案:答案:C 7过双曲线过双曲线1(a0,b0)的左焦点的左焦点 F(c,0)(c0)作圆作圆 x2y2的切线,切点的切线,切点 x2 a2 y2 b2 a2 4 为为 E,延长,延长 FE 交双曲线右支于点交双曲线右支于点 P,若,若
21、(),则双曲线的离心率为,则双曲线的离心率为( )OE 1 2 OF OP A.B. 10 2 10 5 C.D.102 解析:设双曲线右焦点为解析:设双曲线右焦点为 M,OEPF,在直角三角形,在直角三角形 OEF 中,中,|EF| .c2a 2 4 又又 (),OE 1 2 OF OP E 是是 PF 的中点的中点|PF|2,|PM|a.c2a 2 4 又又|PF|PM|2a,2a2a.c2a 2 4 离心率离心率 e . c a 10 2 答案:答案:A 8已知已知|3,A,B 分别在分别在 y 轴和轴和 x 轴上运动,轴上运动,O 为原点,为原点,AB OP 1 3 OA 2 3 OB
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