2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第2章 2.5 曲线与方程 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 25曲线与方程曲线与方程 第一课时 曲线与方程第一课时 曲线与方程 读教材读教材填要点填要点 曲线的方程、方程的曲线曲线的方程、方程的曲线 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点集合或轨迹看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的 点与一个二元方程 上的 点与一个二元方程 f(x,y)0 的实数解建立了如下关系:的实数解建立了如下关系: 点在曲线上点的坐标满足方程即:点在曲线上点的坐标满足方程即: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解
2、为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 此时,方程叫曲线的方程,曲线叫方程的曲线此时,方程叫曲线的方程,曲线叫方程的曲线 小问题小问题大思维大思维 1如果曲线如果曲线 C 的方程是的方程是 f(x,y)0,那么点,那么点 P(x0,y0)在曲线在曲线 C 上的充要条件是什么?上的充要条件是什么? 提示 : 若点提示 : 若点 P 在曲线上, 则在曲线上, 则 f(x0, y0)0; 若; 若 f(x0, y0)0, 则点, 则点 P 在曲线在曲线 f(x, y)0 上, 点 上, 点 P(x0,y0)在曲线在曲线 C 上的充要条件是上的充要条件是 f(x0,y0)0.
3、2“曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别?“曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别? 提示:“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系而“方程的曲线”则强调的是 数量关系表示的图形 提示:“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系而“方程的曲线”则强调的是 数量关系表示的图形 曲线的方程与方程的曲线的概念曲线的方程与方程的曲线的概念 分析下列曲线上的点与相应方程的关系:分析下列曲线上的点与相应方程的关系: (1)过点过点 A(2,0)平行于平行于 y 轴的直线与方程轴的直线与方程|x|2 之间的关系;之间的关系; (2)与两坐标轴的距离的积等于与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程的点与方程
4、xy5 之间的关系;之间的关系; (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系之间的关系 自主解答自主解答 (1)过点过点 A(2,0)平行于平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解;但以 方程 的解;但以 方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于且平行于 y 轴的直线上因此,轴的直线上因此,|x|2 不 是过点 不 是过点 A(2,0)平行于平行于 y 轴的直线的方程轴的直线的方程 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)与两坐标轴
5、的距离的积等于与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程的点的坐标不一定满足方程 xy5; 但以方程; 但以方程 xy5 的 解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 的 解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此,与两坐标轴的距离的积等于因此,与两坐标轴的距离的积等于 5 的点 的轨迹方程不是 的点 的轨迹方程不是 xy5. (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0; 反之,以方程; 反之,以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此,第二、四象限两轴夹角平 分线上的点的轨迹方程是 的解
6、为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此,第二、四象限两轴夹角平 分线上的点的轨迹方程是 xy0. 判定曲线和方程的对应关系的策略判定曲线和方程的对应关系的策略 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多” ,称为纯粹性曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多” ,称为纯粹性 (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多” ,称为完备性以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多” ,称为完备性 注意注意 只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程 只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是
7、曲线的方程 1命题“曲线命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 f(x,y)0 的解”是真命题,下列命题中正确 的是 的解”是真命题,下列命题中正确 的是( ) A方程方程 f(x,y)0 的曲线是的曲线是 C B方程方程 f(x,y)0 的曲线不一定是的曲线不一定是 C Cf(x,y)0 是曲线是曲线 C 的方程的方程 D以方程以方程 f(x,y)0 的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线 C 上上 解析:“曲线解析:“曲线 C 上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 f(x,y)0 的解” ,但“以方程的解” ,但“以方程 f(x,y)0 的解 为坐标的点”不一定
8、在曲线 的解 为坐标的点”不一定在曲线 C 上,故上,故 A、C、D 都不正确,都不正确,B 正确正确 答案:答案:B 用直接法求曲线方程用直接法求曲线方程 已知点已知点 M 与与 x 轴的距离和点轴的距离和点 M 与点与点 F(0,4)的距离相等,求点的距离相等,求点 M 的轨迹方程的轨迹方程 自主解答自主解答 设动点 设动点 M 的坐标为的坐标为(x,y),且,且 M 到到 x 轴的距离为轴的距离为 d, 那么那么 M 属于集合属于集合M|d|MF| 由距离公式得由距离公式得|y|, x 0 2 y 4 2 整理得整理得 x28y160,即,即 y x22. 1 8 所求点所求点 M 的轨
9、迹方程是的轨迹方程是 y x22. 1 8 把本例中的“把本例中的“x 轴”改为“直线轴”改为“直线 x4” ,求点” ,求点 M 的轨迹方程的轨迹方程 解:设动点解:设动点 M 的坐标为的坐标为(x,y), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则则|x4|, x 0 2 y 4 2 整理得整理得 x y2y, 1 8 点点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为 x y. y2 8 利用直接法求轨迹方程, 即直接根据已知等量关系, 列出利用直接法求轨迹方程, 即直接根据已知等量关系, 列出 x, y 之间的关系式, 构成之间的关系式, 构成 F(x, y) 0,从而得出所求动点的轨迹方程要注意
10、求轨迹方程时去杂点,找漏点,从而得出所求动点的轨迹方程要注意求轨迹方程时去杂点,找漏点 2已知两点已知两点 A(0,1),B(1,0),且,且|MA|2|MB|,求动点,求动点 M 的轨迹方程的轨迹方程 解:设点解:设点 M 的坐标为的坐标为(x,y),由两点间距离公式,由两点间距离公式, 得得 |MA| , x 0 2 y 1 2 |MB|. x 1 2 y 0 2 又又|MA|2|MB|, 2. x 0 2 y 1 2 x 1 2 y 0 2 两边平方,并整理得两边平方,并整理得 3x23y22y8x30, 即所求轨迹方程为即所求轨迹方程为 2 2 . (x 4 3) (y 1 3) 8
11、9 用定义法求曲线方程用定义法求曲线方程 如图,在圆如图,在圆 C:(x1)2y225 及点及点 A(1,0),Q 为圆上一 点, ,Q 为圆上一 点,AQ 的垂直平分线交Q 的垂直平分线交 CQ 于Q 于 M,求点,求点 M 的轨迹方程的轨迹方程 自主解答自主解答 由垂直平分线性质可知 由垂直平分线性质可知|MQ Q|MA|, |CM|MA|CM|MQ Q|CQ Q|. |CM|MA|5.M 点轨迹为椭圆点轨迹为椭圆 由椭圆的定义知:由椭圆的定义知:a , ,c1, 5 2 b2a2c21. 25 4 21 4 所求轨迹方程为:所求轨迹方程为:1. x2 25 4 y2 21 4 如果动点的
12、轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依据如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依据 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征 3已知已知 B,C 是两个定点,是两个定点,|BC|6,且,且ABC 的周长等于的周长等于 16,求顶点,求顶点 A 的轨迹方程的轨迹方程 解:如图,建立直角坐标系,使解:如图,建立直角坐标系,使 x 轴经过点轴经过点 B, C, 原点, 原点 O 与与 BC 的中点重合的中点重合 由已知由已知|AB|AC|BC|16,|BC|
13、6, |AB|AC|10|BC|6. 即点即点 A 的轨迹是椭圆,的轨迹是椭圆, 且且 2c6,2a10. c3,a5,b2a2c225916. 但当点但当点 A 在直线在直线 BC 上,上, 即即 y0 时,时,A,B,C 三点不能构成三角形三点不能构成三角形 点点 A 的轨迹方程是的轨迹方程是1(y0) x2 25 y2 16 用相关点法求曲线方程用相关点法求曲线方程 已知圆已知圆 x2y29,从这个圆上任意一点,从这个圆上任意一点 P 向向 x 轴作垂线段轴作垂线段 PP,点,点 M 在在 PP上,并且上,并且2,求点,求点 M 的轨迹的轨迹PM MP 自主解答自主解答 设点 设点 M
14、的坐标为的坐标为(x,y),点,点 P 的坐标为的坐标为(x0,y0),则,则 x0x,y03y. 因为因为 P(x0,y0)在圆在圆 x2y29 上,上, 所以所以 x y 9. 2 02 0 将将 x0x,y03y 代入,代入, 得得 x29y29,即,即y21. x2 9 所以点所以点 M 的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆 若将“点若将“点 M 在在 PP上,并且上,并且2”改为“点”改为“点 M 在直线在直线 PP上,并且上,并且PM MP PM (0)” ,则” ,则 M 点的轨迹是什么?点的轨迹是什么? 1 2P P 解:设解:设 M(x,y),P(x0,y0), PPx 轴,且轴
15、,且|PM| |PP|, 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 xx0,y y0, 1 2 即即 x0x,y02y. 点点 P(x0,y0)在圆在圆 x2y29 上,上, x y 9. 2 02 0 把把 x0x,y02y 代入上式得, 代入上式得, 1. x2 9 y2 9 4 所以点所以点 M 的轨迹是焦点在的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆轴上的椭圆 此类题的解题步骤是先设出点此类题的解题步骤是先设出点 P 和和 M 的坐标,根据条件写出的坐标,根据条件写出 P 点与点与 M 点的坐标之间 的关系,然后用 点的坐标之间 的关系,然后用 M 点的坐标表示点的坐标表示 P 点的坐标
16、,并代入点的坐标,并代入 P 点的坐标所满足的方程,整理即得 所求轨迹方程动点 点的坐标所满足的方程,整理即得 所求轨迹方程动点 M 与曲线上的点与曲线上的点 P 称为相关点称为相关点(有关系的两点有关系的两点),这种求轨迹方程的方 法称为相关点求轨迹方程法 ,这种求轨迹方程的方 法称为相关点求轨迹方程法 4已知点已知点 A 是椭圆是椭圆y21 上任意一点,上任意一点,O 为坐标原点,求线段为坐标原点,求线段 OA 的中点的中点 P 的轨的轨 x2 2 迹方程迹方程 解:设解:设 P(x,y),A(x1,y1), P 为为 OA 中点,中点,x,y, 0 x1 2 0 y1 2 x12x,y1
17、2y. 又点又点 A 在椭圆上,在椭圆上,y 1. x2 1 2 2 1 (2y)21. 2x 2 2 1 x2 1 2 y2 1 4 即为所求点即为所求点 P 的轨迹方程的轨迹方程 解题高手解题高手 多解题多解题 条条大路通罗马,换一个思路试一试条条大路通罗马,换一个思路试一试 如图,过点如图,过点 P(2,4)作互相垂直的直线作互相垂直的直线 l1,l2.若若 l1交交 x 轴于轴于 A,l2交交 y 轴 于 轴 于 B,求线段,求线段 AB 中点中点 M 的轨迹方程的轨迹方程 解解 法一:设 法一:设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,为所求轨迹上任一点, M 为为 AB 中点,中点,A(
18、2x,0),B(0,2y) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 l1l2,且,且 l1,l2过点过点 P(2,4), PAPB.kPAkPB1. kPA(x1),kPB, 4 2 2x 4 2y 2 1,即,即 x2y50(x1) 4 2 2x 4 2y 2 当当 x1 时,时,A(2,0),B(0,4) 此时此时 AB 中点中点 M 的坐标为的坐标为(1,2), 它也满足方程它也满足方程 x2y50, 所求点所求点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为 x2y50. 法二:设法二:设 M(x,y),则,则 A(2x,0),B(0,2y), l1l2,PAB 为直角三角形,为直角三角形, |P
19、M| |AB|. 1 2 即即 . x 2 2 y 4 2 1 2 4x24y2 化简得化简得 x2y50, 所求点所求点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为 x2y50. 1已知坐标满足方程已知坐标满足方程 f(x,y)0 的点都在曲线的点都在曲线 C 上,那么上,那么( ) A曲线曲线 C 上的点的坐标都适合方程上的点的坐标都适合方程 f(x,y)0 B凡坐标不适合凡坐标不适合 f(x,y)0 的点都不在的点都不在 C 上上 C不在不在 C 上的点的坐标必不适合上的点的坐标必不适合 f(x,y)0 D不在不在 C 上的点的坐标有些适合上的点的坐标有些适合 f(x,y)0,有些不适合,有些不适合
20、f(x,y)0 解析:设满足方程解析:设满足方程 f(x,y)0 的点组成的集合为的点组成的集合为 M,曲线,曲线 C 上的所有点组成集合上的所有点组成集合 N, 由题意可知 , 由题意可知 MN. 答案:答案:C 2下列四个图形中,图形下面的方程是图形中曲线的方程的是下列四个图形中,图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( ) 解析:对于解析:对于 A,点,点(0,1)满足方程,但不在曲线上,排除满足方程,但不在曲线上,排除 A; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 对于对于 B,点,点(1,1)满足方程,但不在曲线上,排除满足方程,但不在曲线上,排除 B; 对于对于 C,曲线上第三象
21、限的点,由于,曲线上第三象限的点,由于 x0,y0,不满足方程,排除,不满足方程,排除 C. 答案:答案:D 3下列方程中与方程下列方程中与方程 x2y0 表示同一曲线的是表示同一曲线的是( ) A|x|0 B.1y x2 y Cx2|y|0D2ln xln y0 解析:根据曲线与方程的关系,若两个方程表示同一曲线,则其方程在形式上必须能 统一,且其中的变量范围也必须一致本题中的方程 解析:根据曲线与方程的关系,若两个方程表示同一曲线,则其方程在形式上必须能 统一,且其中的变量范围也必须一致本题中的方程 x2y0 表示顶点在原点,且开口向 上的抛物线 表示顶点在原点,且开口向 上的抛物线C 项
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