2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章 3.4~3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析.pdf
《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章 3.4~3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章 3.4~3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析.pdf(11页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 343.5直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系_平面的法向量平面的法向量 读教材读教材填要点填要点 1射影射影 (1)过空间任意一点过空间任意一点 P 作平面作平面 的垂线与的垂线与 相交于点相交于点 P0,则,则 P0称为点称为点 P 在平面在平面 内的内的 射影射影 (2)预先给定平面预先给定平面 ,空间任何一个图形的每一个点,空间任何一个图形的每一个点 P 在平面在平面 上都有一个射影上都有一个射影 P0,所 有这些 ,所 有这些 P0在平面在平面 上组成一个图形,称为这个空间图形在平面上组成一个图形,称为这个空间图形在平面 上的射影上的射
2、影 2三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那 么它也和这条斜线垂直么它也和这条斜线垂直 (2)三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 3平面的法向量平面的法向量 与平面与平面 垂直的非零向量称为垂直的非零向量称为 的法向量的法向量 小问题小问题大思维大思维 1平面的
3、法向量是唯一的吗?若不唯一,平面的法向量之间的关系是怎样的?平面的法向量是唯一的吗?若不唯一,平面的法向量之间的关系是怎样的? 提示:平面的法向量不是唯一的,平面的不同法向量是共线的提示:平面的法向量不是唯一的,平面的不同法向量是共线的 2 若直线 若直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为(1,1,1), 向量, 向量(1, , 1,0)及向量及向量(0,1, , 1)都与平面都与平面 平行, 则 平行, 则 l 与与 有怎样的位置关系?有怎样的位置关系? 提示:提示:(1,1,1)(0,1,1)0, (1,1,1)(1,1,0)0, 而向量而向量(1,1,0)与向量与向量(0,1,1)不
4、平行,不平行,l. 利用判定定理用向量法证明线面垂直利用判定定理用向量法证明线面垂直 在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中,中,E,F 分别为分别为 BB1,D1B1的中点,求证:的中点,求证:EF 平面 平面 B1AC. 自主解答自主解答 设正方体的棱长为 设正方体的棱长为 2, 建立如图所示的直角坐标系, 建立如图所示的直角坐标系, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则则 A(2, 0,0), C(0,2,0), B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2) (1,1,1),(0,2,2),(2,2,0)EF AB1 AC (1,1,1)(0,2,2)0,EF
5、AB1 (1,1,1)(2,2,0)0,EF AC EFAB1,EFAC.又又 AB1ACA, EF平面平面 B1AC. 利用判定定理,即通过证明向量数量积为利用判定定理,即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内两条相交 直线的方向向量垂直 来验证直线的方向向量与平面内两条相交 直线的方向向量垂直 1已知长方体已知长方体 ABCDA1B1C1D1中,中,ADAA1,AB2AD,点,点 E 是线段是线段 C1D1的中点, 求证: 的中点, 求证:DE平面平面 EBC. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系证明:建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 设, 设 AD1, 则, 则
6、AA11, AB2,则可得,则可得 D(0,0,0),E(0,1,1),B(1,2,0),C(0,2,0), (0,1,1),(1,1,1), (0,1,1),DE EB EC 因为因为110,DE EB 110,DE EC 所以所以 DEEB,DEEC, 又又 EBECE,所以,所以 DE平面平面 EBC. 求平面的法向量求平面的法向量 在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中,棱长为中,棱长为 a,G,E,F 分别为分别为 AA1,AB,BC 的 中点,试建立适当的空间直角坐标系,求平面 的 中点,试建立适当的空间直角坐标系,求平面 GEF 的法向量的法向量 自主解答自主解答 以 以
7、D 点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 则则 G,E,F, (a, ,0, , 1 2a) (a, , 1 2a, ,0) ( 1 2a, ,a, ,0) ,GE (0, , 1 2a, , 1 2a) .GF ( 1 2a, ,a, , 1 2a) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设平面设平面 GEF 的法向量的法向量 n(x,y,z),则,则 Error!即即Error! 令令 yz1,则,则 x1, 平面平面 GEF 的一个法向量为的一个法向量为(1,1,1) 本例条件不变,求平面本例条件不变,求平面 A1EFC1的法向量的法
8、向量 解:解:A1(a,0,a),E,F, (a, , 1 2a, ,0) ( 1 2a, ,a, ,0) ,.A1E (0, , 1 2a, , a)A1F ( 1 2a, ,a, , a) 设平面设平面 A1EFC1的法向量为的法向量为 n(x,y,z),则,则 Error!即即Error! 令令 y2,z1,则,则 x2. 平面平面 A1EFC1的一个法向量为的一个法向量为(2,2,1) 求平面法向量的一般步骤为:求平面法向量的一般步骤为: (1)设出平面的法向量为设出平面的法向量为 n(x,y,z); (2)找出找出(求出求出)平面的两个不共线的向量的坐标平面的两个不共线的向量的坐标
9、a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3); (3)根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组的方程组Error! (4)解方程组,取其中的一个解作为法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可 在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量 解方程组,取其中的一个解作为法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可 在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量 2已知已知ABC 的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为 A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,2,0),试求出 平面 ,试求出 平面 ABC 的一个法向量的一个法向量 解:设平面解:设平面 ABC
10、 的法向量为的法向量为 n(x,y,z) A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,2,0), (1,2,4),(2,4,3),AB AC 由题设得:由题设得: Error!即即Error!解得解得Error! 取取 y1,则,则 x2. 故平面故平面 ABC 的一个法向量为的一个法向量为 n(2,1,0) 利用法向量证明线面垂直利用法向量证明线面垂直 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 如图所示,正方体如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1中,中,M,N 分别为分别为 AB, B1C 的中点试用向量法判断的中点试用向量法判断 MN 与平面与平面 A1BD 的位置关系的位置关系
11、自主解答自主解答 设正方体的棱长为 设正方体的棱长为 1,以,以 D 为坐标原点,为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为所在直线分别为 x 轴、轴、 y 轴、轴、z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系 Dxyz. 则则 B(1,1,0),A1(1,0,1), M,N, (1, , 1 2, ,0) ( 1 2, ,1, , 1 2) (1,0,1),(1,1,0),DA1 DB .MN ( 1 2, , 1 2, , 1 2) 设平面设平面 A1BD 的一个法向量为的一个法向量为 n0(x,y,z), 则则Error! 即即Error! 取取 x1,则,则 yz1, n0(1,1,
12、1) n02,即,即 n0.MN MN MN平面平面 A1BD. 利用法向量证明线面垂直,即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线 面垂直解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量 利用法向量证明线面垂直,即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线 面垂直解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量 3在棱长为在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中,中,M 为棱为棱 BB1的中点,在棱的中点,在棱 DD1上是否存 在点 上是否存 在点 P,使,使 MD平面平面 PAC? 解:如图,建立空间直角坐标系,则解:如图,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),C(0,
13、1,0),D(0,0,0), M, (1, ,1, , 1 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 假设存在假设存在 P(0,0,x)满足条件,满足条件, 则则(1,0,x),(1,1,0)PA AC 设平面设平面 PAC 的法向量为的法向量为 n(x1,y1,z1), 则由则由Error!得得Error! 令令 x11 得得 y11,z1 ,即 ,即 n, 1 x (1, ,1, , 1 x) 由题意由题意n,由得,由得 x2,MD MD ( 1, ,1, ,1 2) 正方体棱长为正方体棱长为 1,且,且 21, 棱棱 DD1上不存在点上不存在点 P,使,使 MD平面平面 PAC.
14、 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路 如图在正方体如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,中,E为为BB1的中点,的中点,F为为CD的中点,的中点,G 为为 AB 的中点的中点 求证:平面求证:平面 ADE平面平面 A1FG. 巧思巧思 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径, 一是利用两个平面垂直的判 定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法 向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径, 一是利用两个平面垂直的判 定定理将面面
15、垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法 向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直 妙解妙解 法一 : 以 法一 : 以 D 为原点,为原点,DA, DC, DD1所在的直线分别为所在的直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标 系 轴建立空间直角坐标 系 Dxyz,设正方体棱长为,设正方体棱长为 1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 D(0,0,0),E,A(1,0,0),A1(1,0,1),G,F. (1, ,1, , 1 2) (1, , 1 2, ,0) (0, , 1 2, ,0) , ,(1,0,0)AE (0, ,1, , 1 2)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章 343.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析 2019 数学 同步 湘教版 选修 讲义 精练 3.5 直线 平面 垂直 关系
链接地址:https://www.31doc.com/p-3055478.html