2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第73课柱、锥、台、球的表面积与体积 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 73 课 柱、锥、台、球的表面积和体积 1. 掌握柱、锥、台、球的结构特征以及表面积和体积的计算公式. 2. 能求简单几何体的表面积和体积. 1. 阅读:必修 2 第 5365 页. 2. 解悟 : 研读直棱柱、正棱锥、正棱台的定义 ; 教材第 53 页中的直棱柱、正棱锥和第 54 页中圆柱、圆锥、圆台都是用侧面展开图的方法推导侧面积公式的,你在解题中能运用这些 方法吗?教材第59页例1中的几何体的体积是通过正六棱柱与圆柱体的体积之差计算的, 这就是常用的“割补法”. 3. 践习:在教材空白处,完成第 60 页练习;第 6364 页习题. 基础诊
2、断 1. 若圆锥的侧面积为 2,底面积为 ,则该圆锥的体积为 . 3 3 解析 : 因为圆锥的底面积为 ,所以圆锥底面的半径为 1,所以其底面的周长为 2.因为 圆锥的侧面积为 2,所以 2l2,解得 l2,所以圆锥的母线长为 2,所以圆锥的高为 1 2 ,故该圆锥的体积为 .22123 1 3 3 3 3 2. 如图,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正 三角形组成,则该多面体的体积是 . 2 6 解析 : 由题意知该多面体为正四棱锥, 如图所示, 底面边长为 1, 侧棱长为 1, 斜高 SE ,连结顶点和底面的中心即为高,所以 SO,所以体积为 1
3、1 3 2 ( 3 2) 2 ( 1 2) 2 2 2 1 3 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ,故该多面体的体积为. 2 6 2 6 3. 已知正四棱柱的底面边长为 2,高为 3,则该正四棱柱的外接球的表面积为 17 . 解析 : 由题意知该正四棱柱的外接球的直径就是正四棱柱的对角线的长,所以球的直径 为,所以球的表面积为 417.22223217 ( 17 2) 2 4. 已知某四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a,则该四面体体积的最大值为 a3 8 . 解析 : 如图所示,在四面体 ABCD 中,若 ABBCCDACBDa,ADx,取 AD 的中点 P,BC 的中点
4、 E,连结 BP,EP,CP. 易证 AD平面 BPC,所以 VABCD SBPCAD axa 1 3 1 3 1 2 a2x 2 4 a 2 4 1 12 a ,当且仅当 x2,即 xa 时取等号,所以(3a2x2 )x 2 1 12 (x23a 2 2) 2 9a4 4 a3 8 3a2 2 6 2 该四面体体积的最大值为 . a3 8 范例导航 考向 用侧面展开图的方法,将空间问题化归为平面问题 例 1 如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 1,高为 8,一质点自 A 点出发,沿着 三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1的最短路线的长为 10 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷
5、下载可打印 解析:方法一:将两个正三棱柱都沿 AA1剪开后展开,如图 1,则最短路线长为 l 10.(2 3)282 方法二 : 将正三棱柱侧面展开如图2所示, 设该质点绕三棱柱侧面一周时交AA1于点M, 则第一周的最短路线为 AM, 第二周的最短路线为 MA1, 所求最短路线的长即求 AMA1M 的最小值,如图 2,取点 A 关于 A的对称点 A,连结 AA1,交 AA1于点 M0,连结 AM, 由三角形的三边不等关系知 A1MAMA1A10.(2 3)282 图 1 图 2 已知圆台上底面的半径为 1,下底面的半径为 4,母线 AB12,从 AB 的中点 M 拉一 条绳子绕圆台侧面转到点
6、A. (1) 求绳子的最短长度; (2) 求当绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离. 解析:(1) 将圆台补形成圆锥,并将圆锥侧面展开成如图所示的扇形. 取 A1B1的中点 M1,AM1就是绳子的最短长度. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设ASA1,则2,BB1 SB 180 8.AA1 (SB12) 180 得 90. 将 90代入,解得 SB4. 在ASM1中,SA16,SM14610, ASA190, 所以 AM 102162356,所以 AM12, 2 1 89 即绳子的最短长度为 2.89 (2) 过点 S 作 SQAM1,交于点 P,交 AM1于点 Q,则 PQ
7、 的长度即为所求.BB1 在 RtASM1中, SQ. SASM1 AM1 16 10 2 89 80 89 89 PQSQSP4, 80 89 89 所以当绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离为4. 80 89 89 考向 折叠问题中线面关系、数量关系的变与不变,等体积法求锥体体积 例2 如图1所示, 在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度), 将直角梯形DCEF沿CD 折起,使平面 DCEF平面 ABCD,连结部分线段后围成一个空间几何体,如图 2 所示. (1) 求证:BE平面 ADF; (2) 求三棱锥 FBCE 的体积. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 图 1
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