2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练:第八章第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 8 讲 立体几何中的向量方法讲 立体几何中的向量方法(二二)求空间角求空间角 一、选择题 1.(2016长沙模拟)在正方体 A1B1C1D1ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小 为( ) A. B. C. D. 6 4 3 2 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为 1,则 A(0,0,0),C(1,1, 0), B1(1,0,1),D(0,1,0). (1,1,0),(1,1,1),AC B1D 1(1)110(1)0,AC B1D ,AC B1D AC 与 B1D 所成的角为. 2 答案 D 2.(2017郑州调研)在
2、正方体 ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面 ACD1所成角的正 弦值为( ) A. B. C. D. 3 2 3 3 3 5 2 5 解析 设正方体的棱长为 1, 以 D 为坐标原点,DA, DC, DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则B(1,1,0), B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 所以(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1).BB1 AC AD1 令平面 ACD1的法向量为 n(x, y, z), 则 nxy0, nxz0,AC AD1 令 x1,可得 n(1,1,1), 所以 sin |cos
3、n,|.BB1 1 3 1 3 3 答案 B 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中, 点E 为BB1的中点, 则平面A1ED与平面 ABCD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所成的锐二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 1 2 2 3 3 3 2 2 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设棱长为 1, 则 A1(0,0,1), E,D(0,1,0), (1,0, 1 2) (0,1,1),A1D ,A1E (1,0, 1 2) 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1,y,z),所以有即 A1D n10, A1E n10,) 解得 yz0, 1
4、1 2z0,) y2, z2.) n1(1,2,2). 平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1), cosn1,n2 . 2 3 1 2 3 即所成的锐二面角的余弦值为 . 2 3 答案 B 4.(2017西安调研)已知六面体 ABCA1B1C1是各棱长均等于 a 的 正三棱柱, D 是侧棱 CC1的中点,则直线 CC1与平面 AB1D 所成 的角为( ) A.45 B.60 C.90 D.30 解析 如图所示,取 AC 的中点 N,以 N 为坐标原点,建立空间直角坐标系. 则 A,C,B1,D,C1 (0, a 2,0) (0, a 2,0)( 3a 2 ,0,a) (0, a 2
5、, a 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 , (0, a 2,a) ,(0,0,a).AB1 ( 3a 2 ,a 2,a) AD (0,a, a 2) CC1 设平面 AB1D 的法向量为 n(x,y,z), 由 n0,n0,可取 n(,1,2).AB1 AD 3 cos,n,CC1 CC1 n |CC1 |n| 2a a 2 2 2 2 直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为 45. 答案 A 5.设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2, 则点 D1到平面 A1BD 的距离是( ) A. B.C. D. 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3 解析 如图建立坐标系.
6、则 D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),(2,0,0),D1A1 (2, 2, 0),DB 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x,y,z),则 nDA1 0, nDB 0,) 令 z1,得 n(1,1,1). 2x2z0, 2x2y0,) D1到平面 A1BD 的距离 d. |D1A1 n| |n| 2 3 2 3 3 答案 D 二、填空题 6.(2017昆明月考)如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1底面 ABC,ABBCAA1, ABC90, 点 E, F 分别是棱 AB, BB1的 中点, 则直线 EF 和 BC1所成的角是_. 高清试卷 下载可打印 高
7、清试卷 下载可打印 解析 以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系.设ABBCAA1 2, 则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1), 则(0,1,1),(2,0,2),2,EF BC1 EF BC1 cos, ,EF BC1 2 2 2 2 1 2 EF 和 BC1所成的角为 60. 答案 60 7.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,则 CD 与平面 BDC1所成角的 正弦值等于_. 解析 以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.设AA12AB 2,则D(0,0,0), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0), C1(0, 1,
8、 2), 则(0, 1, 0),DC (1, 1, 0), (0,1,2).DB DC1 设平面BDC1的一个法向量为n(x, y, z), 则n, n, 所以DB DC1 有令 y2,得平面 BDC1的一个法向量为 n (2,2,1). xy0, y2z0,) 设 CD 与平面 BDC1所成的角为 ,则 sin |cosn, | .DC | nDC |n|DC | 2 3 答案 2 3 8.已知点 E, F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1, CC1上, 且 B1E2EB, CF2FC1,则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_. 解析 延长 FE,CB
9、相交于点 G,连接 AG,如图所示. 设正方体的棱长为 3, 则 GBBC3, 作 BHAG 于点 H, 连 接 EH, 则EHB 为所求二面角的平面角. BH,EB1,tanEHB. 3 2 2 EB BH 2 3 答案 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 三、解答题 9.(2015全国卷)如图, 四边形ABCD为菱形, ABC120 ,E,F是平面ABCD 同一侧的两点,BE平面 ABCD,DF 平面 ABCD, BE2DF,AEEC. (1)证明:平面 AEC平面 AFC, (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. (1)证明 如图,连接 BD, 设 BDACG
10、, 连接 EG, FG, EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB1.由ABC120,可得 AGGC . 3 由 BE平面 ABCD,ABBC,可知 AEEC. 又 AEEC, 所以 EG,且 EGAC.3 在 Rt EBG 中,可得 BE,故 DF.2 2 2 在 Rt FDG 中,可得 FG. 6 2 在直角梯形 BDFE 中,由 BD2,BE,DF,可得 EF,2 2 2 3 2 2 从而 EG2FG2EF2,所以 EGFG. 又 ACFGG,可得 EG平面 AFC. 因为 EG平面 AEC, 所以平面 AEC平面 AFC. (2)解 如图,以 G 为坐标原点,分别以,的方向为 x 轴,y
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