2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题探究课五专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型高考中解析几何问题的热点题型 1.(2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y与直线 l:ykxa(a0) x2 4 交于 M,N 两点, (1)当 k0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPMOPN?说明理由. 解 (1)由题设可得 M(2,a),N(2,a),aa 或 M(2,a),N(2,a).aa 又 y , 故 y在 x2处的导数值为, C 在点(2, a)处的切线方程为 ya x 2 x2 4 aaa
2、(x2),aa 即xya0.a y在 x2处的导数值为, C 在点(2, a)处的切线方程为 ya x2 4 aaa (x2),aa 即xya0.a 故所求切线方程为xya0 和xya0.aa (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0, b)为符合题意的点, M(x1, y1), N(x2, y2), 直线 PM, PN 的斜率分别为 k1, k2. 将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0. 故 x1x24k,x1x24a. 从而 k1k2 y1b x1 y2b x2 . 2kx1x2(ab)(x1x2) x1x2 k(ab) a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印
3、当 ba 时,有 k1k20, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故OPMOPN,所以点 P(0,a)符合题意. 2.(2016北京卷)已知椭圆 C:1 过点 A(2,0),B(0,1)两点. x2 a2 y2 b2 (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知 a2,b1. 所以椭圆方程为y21,又 c. x2 4 a2b23 所以椭圆离心率 e . c a 3 2 (2)证明 设 P 点坐标为(x0,y0)(
4、x00,y00),则 x 4y 4,由 B 点坐标(0,1) 2 02 0 得直线 PB 方程为:y1(x0), y01 x0 令 y0,得 xN,从而|AN|2xN2, x0 1y0 x0 y01 由 A 点坐标(2,0)得直线 PA 方程为 y0(x2), y0 x02 令 x0,得 yM, 2y0 2x0 从而|BM|1yM1, 2y0 x02 所以 S四边形 ABNM |AN|BM| 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 2(2 x0 y01)(1 2y0 x02) x4y4x 0y04x08y04 2(x0y0x02y02) 2. 2x0y02x04y04 x0y0
5、x02y02 即四边形 ABNM 的面积为定值 2. 3.已知中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2,),3 且它的离心率 e . 1 2 (1)求椭圆的标准方程; (2)与圆(x1)2y21 相切的直线 l: ykxt 交椭圆于 M,N 两点,若椭圆上一 点 C 满足,求实数 的取值范围.OM ON OC 解 (1)设椭圆的标准方程为1(ab0), x2 a2 y2 b2 由已知得:解得 4 a2 3 b21, c a 1 2, c2a2b2,) a28, b26,) 所以椭圆的标准方程为1. x2 8 y2 6 (2)因为直线 l:ykxt 与圆(x1)2y21 相切, 所以
6、12k(t0), |tk| 1k2 1t2 t 把 ykxt 代入1 并整理得: x2 8 y2 6 (34k2)x28ktx(4t224)0, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则有 x1x2, 8kt 34k2 y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t, 6t 34k2 因为 (x1x2,y1y2),OC 所以 C, ( 8kt (34k2), 6t (34k2)) 又因为点 C 在椭圆上,所以, 12, 8k2t2 (34k2)22 6t2 (34k2)22 2t2 34k2 2 ( 1 t2) 2 1 t21 因为 t20,所以11,
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