2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第七章 7.3 基本不等式及其应用 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7.3 基本不等式及其应用 基本不等式及其应用 最新考纲 1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值 问题 1基本不等式:ab ab 2 (1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当 ab 时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a,bR) (2) 2(a,b 同号) b a a b (3)ab 2 (a,bR) ( ab 2 ) (4) 2 (a,bR) a2b2 2 ( ab 2 ) 以上不等式等号成立的条件均为 ab. 3算术平均数与几何平均数 设 a0,b0,则 a,b
2、 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为两个 ab 2 ab 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0,y0,则 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最小值 2.(简记:积定和最小)p (2)如果和 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时,xy 有最大值.(简记:和定积最大) p2 4 概念方法微思考 1若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗? 提示 不一定 若这两个正数能相等, 则这两个数的积一定有最大值 ; 若这两个正数不相等, 则这两个正数的积无最大值
3、2函数 yx 的最小值是 2 吗? 1 x 提示 不是因为函数 yx 的定义域是x|x0,当 x0 且 y0”是“ 2”的充要条件( ) x y y x (3)(ab)24ab(a,bR)( ) (4)若 a0,则 a3的最小值为 2.( ) 1 a2 a (5)不等式 a2b22ab 与有相同的成立条件( ) ab 2 ab (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项( ) 题组二 教材改编 2设 x0,y0,且 xy18,则 xy 的最大值为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A80 B77 C81 D82 答案 C 解析 x0,y0, xy 2 xy 即 xy 281,
4、当且仅当 xy9 时,(xy)max81. ( xy 2 ) 3若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是_ m2. 答案 25 解析 设矩形的一边为 x m,面积为 y m2, 则另一边为 (202x)(10x)m,其中 00”是“x 2 成立”的( ) 1 x A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当 x0 时,x 22. 1 x x1 x 因为 x, 同号,所以若 x 2,则 x0, 0,所以“x0”是“x 2 成立”的充要条件, 1 x 1 x 1 x 1 x 故选 C. 5若函数 f(x)x(x2)在 xa
5、处取最小值,则 a 等于( ) 1 x2 A1 B1 C3 D423 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 C 解析 当 x2 时, x20, f(x)(x2)2224, 当且仅当 x2 1 x2 x2 1 x2 (x2),即 x3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x3,即 a3,故选 C. 1 x2 6若正数 x,y 满足 3xy5xy,则 4x3y 的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 由 3xy5xy,得 5, 3xy xy 3 y 1 x 所以 4x3y(4x3y)1 5( 3 y 1 x) 1 5(49 3y x 12x y) (492)5, 1
6、 5 36 当且仅当,即 y2x 时,“”成立, 3y x 12x y 故 4x3y 的最小值为 5.故选 D. 题型一 利用基本不等式求最值 命题点 1 配凑法 例 1 (1)已知 01)的最小值为_ x22 x1 答案 223 解析 x1,x10, y x22 x1 x 22x12x23 x1 x1 22x13 x1 (x1)222. 3 x1 3 当且仅当 x1,即 x1 时,等号成立 3 x1 3 命题点 2 常数代换法 例 2 (2019大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列an中,满足 ama a (m,nN*),则 2 n2 4 的最小值为( ) 2 m 1 n A1 B. C2
7、 D. 3 2 9 2 答案 A 解析 由题意可得,a1q, ama a , 2 n2 4 a1qm1(a1qn1)2(a1q3)2, 即 qmq2nq8, 即 m2n8. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (m2n) 2 m 1 n ( 2 m 1 n) 1 8 1. (2 m n 4n m 2) 1 8 (424) 1 8 当且仅当 m2n 时,即 m4,n2 时,等号成立 命题点 3 消元法 例 3 已知正实数 a,b 满足 a2b40,则 u( ) 2a3b ab A有最大值 B有最小值 14 5 14 5 C有最小值 3 D有最大值 3 答案 B 解析 a2b40,ba24
8、, aba2a4. 又a,b0, a ab a a2a4 , a ab a a2a4 u33 2a3b ab a ab a a2a4 33, 1 a4 a1 1 2a4 a1 14 5 当且仅当 a2,b8 时取等号故选 B. 思维升华 (1)前提:“一正”“二定”“三相等” (2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式 (3)条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代 换的方法;三是配凑法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 跟踪训练 1 (1)(2019四平质检)设 x0,y0,若 xlg 2,lg,ylg 2
9、成等差数列,则 的2 1 x 9 y 最小值为( ) A8 B9 C12 D16 答案 D 解析 xlg 2,lg,ylg 2 成等差数列,2 2lg(xy)lg 2,xy1.2 (xy)10210616, 1 x 9 y ( 1 x 9 y) y x 9x y 当且仅当 x ,y 时取等号, 1 4 3 4 故 的最小值为 16.故选 D. 1 x 9 y (2)若 a,b,c 都是正数,且 abc2,则的最小值是( ) 4 a1 1 bc A2 B3 C4 D6 答案 B 解析 a,b,c 都是正数,且 abc2, abc13, 且 a10,bc0. (a1bc) 4 a1 1 bc 1
10、3 ( 4 a1 1 bc) (54)3. 1 35 4bc a1 a1 bc 1 3 当且仅当 a12(bc),即 a1,bc1 时,等号成立故选 B. 题型二 基本不等式的综合应用 命题点 1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 4 (2018重庆诊断)已知圆 O 的方程为 x2y21, 过第一象限内圆 O 外的点 P(a, b)作圆 O 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,若8,则 ab 的最大值为( )PO PA A3 B3 2 C4 D62 答案 B 解析 根据题意,结合向量数量积的定义式, 可求得|28,所以可求得|PO|29
11、,PO PA PA 即 a2b29,结合基本不等式, 可得 ab3,2a2b22 当且仅当 ab时取等号,故选 B. 3 2 2 命题点 2 求参数值或取值范围 例 5 (2018中山模拟)已知不等式(xy)9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的 ( 1 x a y) 最小值为( ) A2 B4 C6 D8 答案 B 解析 已知不等式(xy)9 对任意正实数 x,y 恒成立,只要求(xy)的最小 ( 1 x a y) ( 1 x a y) 值大于或等于 9, 1a a21, y x ax y a 当且仅当 yx 时,等号成立,a a219,a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
12、打印 2 或4(舍去),a4,aa 即正实数 a 的最小值为 4,故选 B. 思维升华 求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得 参数的值或范围 跟踪训练2 (1)在ABC中, A , ABC的面积为2, 则的最小值为( ) 6 2sin C sin C2sin B sin B sin C A. B. 3 2 33 4 C. D. 3 2 5 3 答案 C 解析 由ABC 的面积为 2, 所以 S bcsin A bcsin 2,得 bc8, 1 2 1 2 6 在ABC 中,由正弦定理得 2sin C sin C2sin B sin B sin C 2c c2b
13、 b c 2cb bc2b b2 bc 16 82b2 b2 8 8 4b2 b24 8 1 2 2 2 , 8 4b2 b24 8 1 2 1 2 3 2 当且仅当 b2,c4 时,等号成立,故选 C. (2)已知函数 f(x)ax2bx(a0,b0)的图象在点(1,f(1)处的切线的斜率为 2,则的最 8ab ab 小值是( ) A10 B9 C8 D32 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 解析 由函数 f(x)ax2bx,得 f(x)2axb, 由函数 f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线斜率为 2, 所以 f(1)2ab2, 所以 (2ab) 8ab ab 1
14、a 8 b 1 2( 1 a 8 b) 1 2(10 b a 16a b) 1 2(102 b a 16a b) (108)9, 1 2 当且仅当 ,即 a ,b 时等号成立, b a 16a b 1 3 4 3 所以的最小值为 9,故选 B. 8ab ab 利用基本不等式求解实际问题 数学建模是对现实问题进行数学抽象, 用数学的语言表达问题, 用数学的方法构建模型 解决问题过程主要包括 : 在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建 立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型,最终解决实际问题 例 某厂家拟在 2019 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的
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