2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第九章 高考专题突破五 第1课时 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 第第 1 课时 范围、最值问题课时 范围、最值问题 题型一 范围问题 例 1 (2018开封质检)已知椭圆 C:1(ab0)与双曲线 y21 的离心率互为倒数, x2 a2 y2 b2 x2 3 且直线 xy20 经过椭圆的右顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,且直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比 数列,求OMN 面积的取值范围 解 (1)双曲线的离心率为, 23 3 椭圆的离心率 e . c a 3 2 又直
2、线 xy20 经过椭圆的右顶点, 右顶点为点(2,0),即 a2,c,b1,3 椭圆方程为 y21. x2 4 (2)由题意可设直线的方程为 ykxm(k0,m0), M(x1,y1),N(x2,y2)联立Error!Error! 消去 y,并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0, 则 x1x2,x1x2, 8km 14k2 4m2 1 14k2 于是 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2km(x1x2)m2. 又直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 k2, y1 x1 y2 x2 k2x1x2kmx1x2m2 x1x
3、2 则m20. 8k2m2 14k2 由 m0 得 k2 ,解得 k . 1 4 1 2 又由 64k2m216(14k2)(m21) 16(4k2m21)0,得 00, y1y2,y1y2. 2mt t24 m24 t24 |AB| x 1x22y1y22 ,t21 y 1y224y1y2 将代入上式得 |AB| ,|m|1,t21 4m2t2 t 2 4 2 4m2 4 t24 4 3|m| m23 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 SAOB |AB|1 1 2 1 2 4 3|m| m23 1, 23 |m| 3 |m| 23 23 当且仅当|m|,即 m时,等号成立, 3 |
4、m| 3 AOB 面积的最大值为 1. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多, 解法灵活多变, 但总体上主要有两种方法 : 一是利用几何法, 即通过利用曲线的定义、 几何性质以及平面几何中的定理、 性质等进行求解 ; 二是利用代数法, 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式), 然后利用函数方法、 不等式方法等进行求解 跟踪训练2 (2018邢台模拟)已知椭圆 y21上两个不同的点A, B关于直线ymx 对称 x2 2 1 2 (1)求实数 m 的取值范围; (2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) 解 (1)由题意知 m0,
5、可设直线 AB 的方程为 y xb.由Error! 1 m 消去 y,得x2xb210. ( 1 2 1 m2) 2b m 因为直线 y xb 与椭圆 y21 有两个不同的交点,所以 2b220, 1 m x2 2 4 m2 将 AB 的中点 M代入直线方程 ymx ,解得 b, ( 2mb m22, m2b m22) 1 2 m22 2m2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由得 m. 6 3 6 3 (2)令 t , 1 m( 6 2 ,0) ( 0, 6 2) 则 t2. (0, 3 2) 则|AB|,t21 2t42t23 2 t21 2 且 O 到直线 AB 的距离为 d.
6、 t21 2 t21 设AOB 的面积为 S(t), 所以 S(t) |AB|d , 1 2 1 2 2(t21 2) 22 2 2 当且仅当 t2 时,等号成立, 1 2 此时满足 t2. (0, 3 2) 故AOB 面积的最大值为. 2 2 1已知 P(x0,y0)是椭圆 C: y21 上的一点,F1,F2是 C 的两个焦点,若b0)的中心为 O,一个焦点为 F,若以 O 为圆心,|OF|为半径的圆 x2 a2 y2 b2 与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. 2 2 ,1)( 0, 3 2 C. D. 3 2 ,1)( 0, 2 2 答案 A 解析 由于以 O
7、为圆心,以 b 为半径的圆内切于椭圆,所以要使以 O 为圆心,以 c 为半径的 圆与椭圆恒有公共点,需满足 cb,则 c2b2a2c2,所以 2c2a2,所以e0)上任意 一点,M 是线段 PF 上的点,且|PM|2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为( ) A. B. C. D1 2 2 2 3 3 3 答案 A 解析 由题意可得 F,设 P(y00), ( p 2,0)( y2 0 2p,y 0) 则 ()OM OF FM OF 1 3FP OF 1 3 OP OF , 1 3OP 2 3OF ( y2 0 6p p 3, y0 3) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 可得
8、k. y0 3 y2 0 6p p 3 1 y0 2p p y0 1 2 y0 2p p y0 2 2 当且仅当 时取得等号,故选 A. y0 2p p y0 6在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C: x24y,点 P 是 C 的准线 l 上的动点,过点 P 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B,则AOB 面积的最小值为( ) A. B2 C2 D422 答案 B 解析 设 P(x0,1),A(x1,y1),B(x2,y2), 又 A,B 在抛物线上,所以 y1 ,y2 . x2 1 4 x2 2 4 因为 y ,则过点 A,B 的切线分别为 y (xx1),y (xx2)均过点 P
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