2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第九章 9.6 双曲线 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.6 双曲线 双曲线 最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质 1双曲线定义 平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中 a,c 为常数且 a0,c0. (1)当 2a|F1F2|时,P 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 (a0,b0) 1 y2 a2 x2 b2 (a0,b0) 图形 范围xa 或 xa,yRx
2、R,ya 或 ya 性质 对称性对称轴:坐标轴 对称中心:原点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a) 渐近线y x b a y x a b 离心率e ,e(1,),其中 c c a a2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a,线段 B1B2叫做双 曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做 双曲线的虚半轴长 a, b, c 的关系 c2a2b2 (ca0,cb0) 概念方法微思考 1平面内与两定点 F1,F2的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲
3、线吗? 为什么? 提示 不一定当 2a|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线; 当 2a|F1F2|时,动点的轨迹不存在; 当 2a0 时,动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线 2方程 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是什么? 提示 若 A0,B0,表示焦点在 y 轴上的双曲 线所以 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是 AB0,b0,二者没有大小要求, 若 ab0,ab0,0b0 时,10 时,e c a 1(b a) 2 2 (亦称等轴双曲线),当 0.22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点
4、F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线( ) (2)方程 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) x2 m y2 n (3)双曲线方程(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即 0.( ) x2 m2 y2 n2 x2 m2 y2 n2 x m y n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( )2 (5)若双曲线1(a0,b0)与1(a0,b0)的离心率分别是 e1,e2,则 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 1 e2 1 1 e2 2 1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 题组二 教材改编 2若双曲线1(a0,b0)的焦
5、点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率 x2 a2 y2 b2 为( ) A. B55 C. D22 答案 A 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长, 双曲线的渐近线方程为 0, 即bxay0, x a y b 2ab.又 a2b2c2,5a2c2. bc a2b2 e25,e. c2 a2 5 3已知 ab0,椭圆 C1的方程为1,双曲线 C2的方程为1,C1与 C2的离心 x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 率之积为,则 C2的渐近线方程为( ) 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Axy0 B.xy022 Cx2y0 D2xy0 答案 A 解
6、析 椭圆 C1的离心率为, 双曲线 C2的离心率为, 所以, a2b2 a a2b2 a a2b2 a a2b2 a 3 2 即 a44b4,所以 ab,所以双曲线 C2的渐近线方程是 yx,即 xy0.2 1 2 2 4经过点 A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案 1 x2 15 y2 15 解析 设双曲线的方程为1(a0), x2 a2 y2 a2 把点 A(4,1)代入,得 a215(舍负), 故所求方程为1. x2 15 y2 15 题组三 易错自纠 5(2016全国)已知方程1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4, x2 m2n y2 3m2n 则 n
7、 的取值范围是( ) A(1,3) B(1,)3 C(0,3) D(0,)3 答案 A 解析 方程1 表示双曲线, x2 m2n y2 3m2n (m2n)(3m2n)0,解得m20,b0)的一条渐近线经过点(3,4),则此双曲线的离心率为( ) x2 a2 y2 b2 A. B. 7 3 5 4 C. D. 4 3 5 3 答案 D 解析 由条件知 y x 过点(3,4),4, b a 3b a 即 3b4a,9b216a2,9c29a216a2, 25a29c2,e .故选 D. 5 3 7已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为 y x,则该双曲线的标准方程为3 1 2 _ 答案 y21
8、x2 4 解析 由双曲线的渐近线方程为 y x,可设该双曲线的标准方程为 y2(0),已知 1 2 x2 4 该双曲线过点(4,),所以()2,即 1,故所求双曲线的标准方程为 y21.3 42 4 3 x2 4 题型一 双曲线的定义 例 1 (1)已知定点 F1(2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2y21 上任意一点,点 F1关于点 N 的对 称点为 M,线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 如图,连接 ON,由题意可得|ON|1,且 N 为 MF1的
9、中点, 又 O 为 F1F2的中点,|MF2|2. 点 F1关于点 N 的对称点为 M,线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P, 由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|, |PF2|PF1|PF2|PM|MF2| 20,b0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 由题意知,2b12,e , c a 5 4 b6,c10,a8. 双曲线的标准方程为1 或1. x2 64 y2 36 y2 64 x2 36 双曲线经过点 M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a12. 又 2c26,c13,b2c2a225. 双曲线的标准方程为1. y2
10、 144 x2 25 设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) Error!解得Error! 双曲线的标准方程为1. y2 25 x2 75 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 思维升华 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 焦点位置不确定时,设 Ax2By21(AB0,b0)的虚轴长为 8, x2 a2 y2 b2 右顶点(a,0)到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线 C 的方程为( ) 12 5 A. 1 B. 1 x2 9 y2 16 x2 16 y2 9 C.1 D.1 x2 25 y2 16 x2 16 y2 25 答案 A 解析 由虚轴长为 8,可得 b
11、4, 右顶点 A(a,0)到双曲线 C 的一条渐近线 bxay0 的距离为,解得 a3, 12 5 ab a2b2 12 5 则双曲线 C 的方程为 1,故选 A. x2 9 y2 16 (2)(2017全国)已知双曲线 C:1(a0,b0)的一条渐近线方程为 yx,且与椭 x2 a2 y2 b2 5 2 圆 1 有公共焦点,则 C 的方程为( ) x2 12 y2 3 A. 1 B. 1 x2 8 y2 10 x2 4 y2 5 C. 1 D. 1 x2 5 y2 4 x2 4 y2 3 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由 yx,可得 . 5 2 b a 5 2
12、由椭圆 1 的焦点为(3,0),(3,0), x2 12 y2 3 可得 a2b29. 由可得 a24,b25. 所以 C 的方程为 1.故选 B. x2 4 y2 5 题型三 双曲线的几何性质 命题点 1 与渐近线有关的问题 例3 已知F1, F2是双曲线C:1(a0, b0)的两个焦点, P是C上一点, 若|PF1|PF2| x2 a2 y2 b2 6a,且PF1F2最小内角的大小为 30,则双曲线 C 的渐近线方程是( ) A.xy0 Bxy022 Cx2y0 D2xy0 答案 A 解析 由题意, 不妨设|PF1|PF2|, 则根据双曲线的定义得, |PF1|PF2|2a, 又|PF1|
13、PF2| 6a, 解得|PF1|4a, |PF2|2a.在PF1F2中, |F1F2|2c, 而 ca, 所以有|PF2|0, 双曲线的渐近线与圆(x2)2 x2 a2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 y21 相切,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 2 3 3 32 3 2 答案 A 解析 根据题意,可以求得双曲线的渐近线的方程为 xay0,而圆(x2)2y21 的圆心为 (2,0),半径为 1,结合题意有1,结合 a0 的条件,求得 a,所以 c2, |2 0| 1a2 331 所以有 e,故选 A. 2 3 2 3 3 思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法 求双
14、曲线1(a0,b0)或1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等 x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 于 0,即令 0,得 y x; 或令 0,得 y x.反之,已知渐近线方程为 y x, x2 a2 y2 b2 b a y2 a2 x2 b2 a b b a 可设双曲线方程为(a0,b0,0) x2 a2 y2 b2 2求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 求 a,b,c 的值,由1直接求 e. c2 a2 a2b2 a2 b2 a2 列出含有 a,b,c 的齐次方程(或不等式),借助于 b2c2a2消去 b,然后转化成关于 e 的 方程(或不等式)求解
15、 (2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系:k . b a c2a2 a c2 a21 e21 跟踪训练 3 (2018茂名模拟)已知 F1,F2是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1 x2 a2 y2 b2 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 B,A,若ABF2为等边三角形,则双曲线的离心 率为( ) A. B4 C. D.7 2 3 3 3 答案 A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 因为ABF2为等边三角形,所以不妨设|AB|BF2|AF2|m, 因为 A 为双曲线右支上一点, 所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a, 因为 B 为双曲
16、线左支上一点, 所以|BF2|BF1|2a,|BF2|4a, 由ABF260,得F1BF2120, 在F1BF2中,由余弦定理得 4c24a216a222a4acos 120, 得 c27a2,则 e27,又 e1,所以 e.故选 A.7 高考中离心率问题 离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般 有两类:一类是根据一定的条件求离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围, 无论是哪类问题,其难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要把其 中的 b 用 a,c 表示,转化为关于离心率 e 的关系式,这是化解有关椭圆与双曲线的离心率
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