2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第二章 2.9 函数模型及其应用 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.9 函数模型及其应用 函数模型及其应用 最新考纲 1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体 会直线上升、 指数爆炸、 对数增长等不同函数类型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使 用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应 用 1几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a,b 为常数,a0) 反比例函数模型f(x) b(k,b 为常数且 k0) k x 二次函数模型 f(x)ax2bxc (a,b,c 为常数,a0) 指数函数模型 f(x)baxc (a
2、,b,c 为常数,b0,a0 且 a1) 对数函数模型 f(x)blogaxc (a,b,c 为常数,b0,a0 且 a1) 幂函数模型f(x)axnb (a,b 为常数,a0) 2.三种函数模型的性质 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0,)上 的增减性 单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 随x的增大逐渐表 现为与 x 轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较存在一个 x0,当 xx0时,有 logax0, b1)增长速度越来越快的形象比喻
3、( 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ) 题组二 教材改编 2 某工厂一年中各月份的收入、 支出情况的统计图如图所示, 则下列说法中错误的是( ) A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 答案 D 解析 由题图可知, 收入最高值为 90 万元, 收入最低值为 30 万元, 其比是 31, 故 A 正确 ; 由题图可知,7 月份的结余最高,为 802060(万元),故 B 正确;由题图可知,1 至 2 月 份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的
4、变化率相同,故 C 正确;由题图可知,前 6 个月 的平均收入为 (406030305060)45(万元),故 D 错误 1 6 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时的 生产成本为 C(x) x22x20(万元)一万件售价为 20 万元,为获取更大利润,该企业一 1 2 个月应生产该商品数量为 万件 答案 18 解析 利润 L(x)20xC(x) (x18)2142, 1 2 当 x18 时,L(x)有最大值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长 度为 答案
5、3 解析 设隔墙的长度为 x(00),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用 了 20 分钟,在乙地休息 10 分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟,则小王从出 发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( ) 答案 D 解析 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除 A,C.又因为小王 在乙地休息 10 分钟,故排除 B,故选 D. 3汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶
6、5 千米 B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多 C甲车以 80 千米/时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 解析 根据图象所给数据,逐个验证选项 根据图象知, 当行驶速度大于 40 千米/时时, 消耗 1 升汽油, 乙车最多行驶里程大于 5 千米, 故选项 A 错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时, 甲车消耗汽油最少,故选项 B 错;甲车以 80 千米/时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升, 行驶 1 小时,里程为 80 千米,消耗 8 升汽油,
7、故选项 C 错;最高限速 80 千米/时,丙车的 燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项 D 对 思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象 (2)验证法 : 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点, 结合图象的变化趋势, 验证是否吻合, 从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案 题型二 已知函数模型的实际问题 例 1 (1)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定 条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位 : 分钟)满足函
8、数关系 pat2btc(a,b,c 是常数), 如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 分钟 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 3.75 解析 根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式, 联立方程组得Error! 消去 c 化简得Error!解得Error! 所以p0.2t21.5t22 2 , 所以当t3.75 时, p 1 5(t 215 2 t225 16) 45 16 1 5(t 15 4) 13 16 15 4 取得最大值,即最佳加工时间为 3.75 分钟 (2)某公司招聘员工
9、,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 yError!其中 x 代 表拟录用人数, y 代表面试对象人数 若面试对象人数为 60, 则该公司的拟录用人数为( ) A15 B40 C25 D70 答案 C 解析 当 1x10 时, y40; 当 x100 时, y150.因此所求人数 x(10,100, 由 2x1060, 得 x25,故选 C. 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 跟踪训练 1 (1)拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位 :
10、元)由 f(m)1.06(0.5m1)给出, 其中 m0,m是不超过 m 的最大整数(如33,3.73,3.13),则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为 元 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 4.24 解析 m6.5,m6, 则 f(6.5)1.06(0.561)4.24. (2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 万 元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)40QQ2,则总利润 L(Q)的最大值是 1 20 万元 答案 2 500 解析 L(Q)40QQ210Q2 000 1 20 Q230Q2 000(Q30
11、0)22 500. 1 20 1 20 则当 Q300 时,L(Q)的最大值为 2 500 万元 题型三 构建函数模型的实际问题 命题点 1 构造一次函数、二次函数模型 例 2 (1)某航空公司规定, 乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所 示的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg. 答案 19 解析 由图象可求得一次函数的解析式为 y30x570,令 30x5700,解得 x19. (2)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数 中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) 高清试卷 下载
12、可打印 高清试卷 下载可打印 x1.992345.156.126 y1.5174.041 87.51218.01 A.y2x2 By (x21) 1 2 Cylog2x Dy 1 2 log x 答案 B 解析 由题中表可知函数在(0, )上是增函数, 且 y 的变化随 x 的增大而增大的越来越快, 分析选项可知 B 符合,故选 B. 命题点 2 构造指数函数、对数函数模型 例 3 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐 到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已 1 4 知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
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