2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第五章 5.3 平面向量的数量积 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.3 平面向量的数量积 平面向量的数量积 最新考纲 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会 平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量积的 运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作a,b,则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角,向量夹角OA OB 的范围是0, 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a,b 的夹角为 ,则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积,记作 ab 投影
2、 |a|cos 叫做向量a在b方向上的投影, |b|cos 叫做向量b在a 方向上的投影 几何 意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.向量数量积的运算律 (1)abba. (2)(a)b(ab)a(b) (3)(ab)cacbc. 4平面向量数量积的有关结论 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2),a 与 b 的夹角为 . 结论几何表示坐标表示 模|a|aa|a|x2 1y2 1 夹角cos ab |a|b| cos x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 ab 的充
3、要条件ab0x1x2y1y20 |ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2| x 2 1y2 1 x 2 2y2 2 概念方法微思考 1a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相同吗? 提示 不相同 因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos , 而 b 在 a 方向上的投影为|b|cos , 其中 为 a 与 b 的夹角 2两个向量的数量积大于 0,则夹角一定为锐角吗? 提示 不一定当夹角为 0时,数量积也大于 0. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量( ) (2)两个向量的数
4、量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( ) (3)由 ab0 可得 a0 或 b0.( ) (4)(ab)ca(bc)( ) (5)两个向量的夹角的范围是.( ) 0, 2 (6)若 ab0,|ab|2cos x. (2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x1 2 2 . (cos x 1 2) 3 2 x, cos x1, 3, 4 1 2 当 cos x 时,f(x)取得最小值 ; 1 2 3 2 当 cos x1 时,f(x)取得最大值1. 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共
5、线或垂直或等式成立等, 得到三角函数的关系式,然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思 路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等 跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m,n(sin x,cos x),x ( 2 2 , 2 2) . (0, 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)若 mn,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值 3 解 (1)因为 m,n(sin x,cos x),mn. ( 2 2 , 2 2) 所以 mn0,即sin xcos x0,
6、 2 2 2 2 所以 sin xcos x,所以 tan x1. (2)因为|m|n|1,所以 mncos , 3 1 2 即sin xcos x , 2 2 2 2 1 2 所以 sin , (x 4) 1 2 因为 00”是“a 与 b 的夹角为锐角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 根据向量数量积的定义式可知,若 ab0,则 a 与 b 的夹角为锐角或零角,若 a 与 b 的夹角为锐角,则一定有 ab0,所以“ab0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分条 件,故选 B. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印
7、2(2019西北师大附中冲刺诊断)已知向量 a(1,1),b(2,3),若 ka2b 与 a 垂直,则 实数 k 的值为( ) A1 B1 C2 D2 答案 B 解析 向量 a(1,1),b(2,3), 则 ka2b.(k4,k6) 若 ka2b 与 a 垂直,则 k4k60, 解得 k1.故选 B. 3 (2018华中师大一附中模拟)已知向量 a, b 满足|a|1, |b|2, ab(,), 则|2ab|32 等于( ) A2 B.217 C. D2155 答案 A 解析 根据题意,|ab|,325 则(ab)2a2b22ab 52ab5, 可得 ab0,结合|a|1,|b|2, 可得(2
8、ab)24a2b24ab448, 则2,故选 A.|2ab|2 4(2018东三省三校模拟)非零向量 a,b 满足:|ab|a|,a(ab)0,则 ab 与 b 夹 角 的大小为( ) A135 B120 C60 D45 答案 A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 非零向量 a,b 满足 a(ab)0, a2ab,由|ab|a| 可得, a22abb2a2,解得|b|a|,2 cos abb |ab|b| ab|b|2 |a|b| , |a|22|a|2 2|a| 2 2 2 135,故选 A. 5(2019咸阳模拟)已知两个单位向量 a 和 b 的夹角为 60,则向量 ab
9、在向量 a 方向上的 投影为( ) A1 B1 C D. 1 2 1 2 答案 D 解析 由题意可得 |a|b|1, 且 ab|a|b|cos 60 , 1 2 a(ab)a2ab1 , 1 2 1 2 则向量 ab 在向量 a 方向上的投影为 .故选 D. aba |a| 1 2 1 1 2 6 (2018钦州质检)已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 的内切圆内(含边界)一动点, 则MA 的取值范围是( )MB A1,0 B1,2 C1,3 D1,4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 C 解析 如图所示, 由题意可得,点 M 所在区域的不等式表示为(x1)2(y1)
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