2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第五章 微专题六 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 微专题六 向量中数量积的最值微专题六 向量中数量积的最值 经验分享 在平面向量的问题中,存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题” ,通 过对该类问题的多解探究,进一步提高分析、解决此类问题的能力 题目 (2018南通调研)如图 1,已知 AC2,B 为 AC 的中点,分别以 AB,AC 为直径在 AC 同侧作半圆,M,N 分别为两半圆上的动点(不含端点 A,B,C),且 BMBN,则的AM CN 最大值为_ 答案 1 4 解析 方法一 由题设可知 ABBCBN1. 因为点M在以AB为直径的半圆上, 所以AMBM, 又BMBN, 所以AMB
2、N, 若设MAB ,则NBC. 如题图 2,建立平面直角坐标系 xBy,则点 A(1,0),M(sin2,sin cos ),C(1,0),N(cos ,sin ),所以(sin2 1,sin cos )(cos2,sin cos ),(cos 1,sin )AM CN 于是,cos2(cos 1)sin2cos AM CN cos3cos2(1cos2)cos cos2cos 2. 1 4 (cos 1 2) 又易知 00),则因为 BMBN,所以直线 BM 的方程为 y x. 1 k 注意到点 N 是直线 BN 与以 AC 为直径的半圆的交点,所以将 ykx 与 x2y21 联立,可 求得
3、点 N 的坐标为. ( 1 1k2, k 1k2) 注意到点 M 是直线 BM 与以 AB 为直径的半圆的交点,所以将 y x 与 2y2 联 1 k (x 1 2) 1 4 立,可求得点 M 的坐标为. ( k2 k21, k k21) 又点 A(1,0),C(1,0),所以向量 ,AM ( 1 k21, k k21) CN ( 1 1k21, k 1k2) 所以AM CN 1 k21( 1 1k21) k k21 k 1k2 1 k21( k21 1k21) 1 1k2 1 k21 2, 1 4 ( 1 1k2 1 2) 故当 ,即 k时,可得的最大值为 . 1 1k2 1 2 3AM C
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