2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第八章 8.3 直线、平面平行的判定与性质 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.3 直线、平面平行的判定与性质 直线、平面平行的判定与性质 最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨 论证, 认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2.能运用公理、 定理和已获得的结论证 明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 1线面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行,则该直线与此 平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) Error!l 性质定理 一条直线与一个平面平行,则 过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行(简记为 “
2、线面平行线线平行”) Error!lb 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行,则 这两个平面平行(简记为 “线面平行面面平行”) Error! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 性质定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交,那么它 们的交线平行 Error!ab 概念方法微思考 1一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗? 提示 不都平行该平面内的直线有两类,一类与该直线平行,一类与该直线异面 2一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个 平面平行吗? 提
3、示 平行可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行” ,这就是面面平 行的判定定理 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面( ) (2)平行于同一条直线的两个平面平行( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行( ) (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( ) (5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行,则 a.( ) (6)若 ,直线 a,则 a.( ) 题组二 教材改编 2平面 平面 的一个充分条件是( ) A存在一条直线
4、a,a,a B存在一条直线 a,a,a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C存在两条平行直线 a,b,a,b,a,b D存在两条异面直线 a,b,a,b,a,b 答案 D 解析 若 l,al,a,a,则 a,a,故排除 A.若 l,a,al, 则 a,故排除 B.若 l,a,al,b,bl,则 a,b,故排除 C.故选 D. 3如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为 DD1的中点,则 BD1与平面 AEC 的位置关系 为_ 答案 平行 解析 连接 BD,设 BDACO,连接 EO, 在BDD1中,E 为 DD1的中点,O 为 BD 的中点, 所以 EO 为BDD1的中位线
5、,则 BD1EO, 而 BD1平面 ACE,EO平面 ACE, 所以 BD1平面 ACE. 题组三 易错自纠 4 (2019荆州模拟)对于空间中的两条直线 m, n 和一个平面 , 下列命题中的真命题是( ) A若 m,n,则 mn B若 m,n,则 mn 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C若 m,n,则 mn D若 m,n,则 mn 答案 D 解析 对 A,直线 m,n 可能平行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线 m 与 n 可能平行, 也可能异面,故 B 错误;对 C,m 与 n 垂直而非平行,故 C 错误;对 D,垂直于同一平面 的两直线平行,故 D 正确 5 若平面
6、平面 , 直线 a平面 , 点 B, 则在平面 内且过 B 点的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一与 a 平行的直线 答案 A 解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A. 6设 , 为三个不同的平面,a,b 为直线,给出下列条件: a,b,a,b;,; ,;a,b,ab. 其中能推出 的条件是_(填上所有正确的序号) 答案 解析 在条件或条件中, 或 与 相交; 由 ,条件满足; 在中,a,abb,又 b,从而 ,满足 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型一
7、 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 例1 如图, 在几何体ABCDE中, 四边形ABCD是矩形, AB平面BEC, BEEC, ABBEEC 2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点 求证:GF平面 ADE. 证明 方法一 如图,取 AE 的中点 H,连接 HG,HD, 又 G 是 BE 的中点, 所以 GHAB,且 GH AB. 1 2 又 F 是 CD 的中点, 所以 DF CD. 1 2 由四边形 ABCD 是矩形得 ABCD,ABCD, 所以 GHDF,且 GHDF, 从而四边形 HGFD 是平行四边形, 所以 GFDH. 高清试卷 下载可打印 高清试卷
8、下载可打印 又 DH平面 ADE,GF平面 ADE, 所以 GF平面 ADE. 方法二 如图,取 AB 的中点 M,连接 MG,MF. 又 G 是 BE 的中点,可知 GMAE. 又 AE平面 ADE,GM平面 ADE, 所以 GM平面 ADE. 在矩形 ABCD 中, 由 M,F 分别是 AB,CD 的中点得 MFAD. 又 AD平面 ADE,MF平面 ADE. 所以 MF平面 ADE. 又因为 GMMFM,GM平面 GMF,MF平面 GMF, 所以平面 GMF平面 ADE. 因为 GF平面 GMF, 所以 GF平面 ADE. 命题点 2 直线与平面平行的性质 例 2 (2019东三省四市教
9、研联合体模拟)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, PA平面 ABCD,E,F 分别是线段 AD,PB 的中点,PAAB1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)证明:EF平面 PDC; (2)求点 F 到平面 PDC 的距离 (1)证明 取 PC 的中点 M,连接 DM,MF, M,F 分别是 PC,PB 的中点, MFCB,MF CB, 1 2 E 为 DA 的中点,四边形 ABCD 为正方形, DECB,DE CB, 1 2 MFDE,MFDE,四边形 DEFM 为平行四边形, EFDM, EF平面 PDC,DM平面 PDC, EF平面 PDC. (2)解 E
10、F平面 PDC,点 F 到平面 PDC 的距离等于点 E 到平面 PDC 的距离 PA平面 ABCD,PADA, 在 RtPAD 中,PAAD1,DP,2 PA平面 ABCD,PACB, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 CBAB,PAABA,PA,AB平面 PAB, CB平面 PAB, CBPB,则 PC,3 PD2DC2PC2, PDC 为直角三角形,其中 PDCD, SPDC 1, 1 2 2 2 2 连接 EP,EC,易知 VEPDCVCPDE, 设 E 到平面 PDC 的距离为 h, CDAD,CDPA,ADPAA,AD,PA平面 PAD, CD平面 PAD, 则 h 1
11、1, 1 3 2 2 1 3 1 2 1 2 h,F 到平面 PDC 的距离为. 2 4 2 4 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点) (2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba) (3)利用面面平行的性质(,aa) (4)利用面面平行的性质(,a,aa) 跟踪训练1 (2018崇左联考)如图, 在四棱锥PABCD中, 平面PAC平面ABCD, 且PAAC, PAAD2, 四边形 ABCD 满足 BCAD, ABAD, ABBC1.点 E, F 分别为侧棱 PB, PC 上的点,且(0) PE PB PF PC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
12、印 (1)求证:EF平面 PAD; (2)当 时,求点 D 到平面 AFB 的距离 1 2 (1)证明 (0),EFBC. PE PB PF PC BCAD,EFAD. 又 EF平面 PAD,AD平面 PAD, EF平面 PAD. (2)解 , 1 2 F 是 PC 的中点, 在 RtPAC 中,PA2,AC,2 PC,PA2AC26 PF PC. 1 2 6 2 平面 PAC平面 ABCD,且平面 PAC平面 ABCDAC,PAAC,PA平面 PAC, PA平面 ABCD,PABC. 又 ABAD,BCAD,BCAB, 又 PAABA,PA,AB平面 PAB, BC平面 PAB, BCPB,
13、在 RtPBC 中,BF PC. 1 2 6 2 连接 BD,DF,设点 D 到平面 AFB 的距离为 d, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在等腰三角形 BAF 中,BFAF,AB1, 6 2 SABF, 5 4 又 SABD1,点 F 到平面 ABD 的距离为 1, 由 VFABDVDAFB,得 11 d, 1 3 1 3 5 4 解得 d,即点 D 到平面 AFB 的距离为. 4 5 5 4 5 5 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 3 如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的 中点,求证: (1)B,C,H,G
14、 四点共面; (2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明 (1)G,H 分别是 A1B1,A1C1的中点, GH 是A1B1C1的中位线, GHB1C1. 又B1C1BC,GHBC, B,C,H,G 四点共面 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)E,F 分别是 AB,AC 的中点, EFBC. EF平面 BCHG,BC平面 BCHG, EF平面 BCHG. 又 G,E 分别为 A1B1,AB 的中点,A1B1AB 且 A1B1AB, A1GEB,A1GEB, 四边形 A1EBG 是平行四边形, A1EGB. 又A1E平面 BCHG,GB平面 BCHG, A1E平面 BCHG. 又
15、A1EEFE,A1E,EF平面 EFA1, 平面 EFA1平面 BCHG. 引申探究 1在本例中,若将条件“E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D 分别为 B1C1,BC 的中点” ,求证:平面 A1BD1平面 AC1D. 证明 如图所示,连接 A1C,AC1,交于点 M, 四边形 A1ACC1是平行四边形, M 是 A1C 的中点,连接 MD, D 为 BC 的中点, A1BDM. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A1B平面 A1BD1,DM平面 A1BD1, DM平面 A1BD1, 又由三棱柱的性质知,D1C1BD 且 D1C1BD, 四边
16、形 BDC1D1为平行四边形, DC1BD1. 又 DC1平面 A1BD1,BD1平面 A1BD1, DC1平面 A1BD1, 又 DC1DMD,DC1,DM平面 AC1D, 因此平面 A1BD1平面 AC1D. 2在本例中,若将条件“E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“点 D,D1 分别是 AC,A1C1上的点,且平面 BC1D平面 AB1D1” ,试求的值 AD DC 解 连接 A1B,AB1,交于点 O,连接 OD1. 由平面 BC1D平面 AB1D1, 且平面 A1BC1平面 BC1DBC1,平面 A1BC1平面 AB1D1D1O, 所以 BC1D1O,
17、则1. A1D1 D1C1 A1O OB 同理,AD1C1D, 又 ADC1D1, 所以四边形 ADC1D1是平行四边形, 所以 ADD1C1, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 ACA1C1, 所以,所以1,即1. A1D1 D1C1 DC AD DC AD AD DC 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义 (2)面面平行的判定定理 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行 (5)利用“线线平行” 、“线面平行” 、“面面平行”的相互转化 跟踪训练 2 (2018合肥质检)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形
18、 ABCD 是正方形,BF平 面 ABCD,DE平面 ABCD,BFDE,M 为棱 AE 的中点 (1)求证:平面 BDM平面 EFC; (2)若 AB1,BF2,求三棱锥 ACEF 的体积 (1)证明 如图,设 AC 与 BD 交于点 N, 则 N 为 AC 的中点,连接 MN, 又 M 为棱 AE 的中点, MNEC. MN平面 EFC,EC平面 EFC, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 MN平面 EFC. BF平面 ABCD,DE平面 ABCD,且 BFDE, BFDE 且 BFDE, 四边形 BDEF 为平行四边形, BDEF. BD平面 EFC,EF平面 EFC, BD平
19、面 EFC. 又 MNBDN,MN,BD平面 BDM, 平面 BDM平面 EFC. (2)解 连接 EN,FN. 在正方形 ABCD 中,ACBD, 又 BF平面 ABCD,BFAC. 又 BFBDB,BF,BD平面 BDEF, AC平面 BDEF, 又 N 是 AC 的中点, V三棱锥 ANEFV三棱锥 CNEF, V三棱锥 ACEF2V三棱锥 ANEF2 ANSNEF2 2 , 1 3 1 3 2 2 1 2 2 2 3 三棱锥 ACEF 的体积为 . 2 3 题型三 平行关系的综合应用 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 4 如图所示,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD
20、 的一个截面,若截面为平行四边形 (1)求证:AB平面 EFGH,CD平面 EFGH; (2)若 AB4,CD6,求四边形 EFGH 周长的取值范围 (1)证明 四边形 EFGH 为平行四边形, EFHG. HG平面 ABD,EF平面 ABD, EF平面 ABD. 又EF平面 ABC,平面 ABD平面 ABCAB, EFAB,又AB平面 EFGH,EF平面 EFGH, AB平面 EFGH.同理可证,CD平面 EFGH. (2)解 设 EFx(0x4), EFAB,FGCD, ,则1 . CF CB x 4 FG 6 BF BC BCCF BC x 4 FG6 x. 3 2 四边形 EFGH 为
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