2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第八章 8.1 空间几何体的结构、表面积与体积 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.1 空间几何体的结构、表面积与体积 空间几何体的结构、表面积与体积 最新考纲 1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简 单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、 棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 1空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面互相平行且全等多边形互相平行 侧棱平行且相等 相交于一点但不 一定相等 延长线交于一点 侧面形状平行四边形三角形梯形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)旋转体的结构特征 名
2、称圆柱圆锥圆台球 图形 母线 平行、相等且垂直 于底面 相交于一点延长线交于一点 轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆 侧面 展开图 矩形扇形扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V S底h 1 3 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下 V (S上S下 1 3 S上S下 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 )h 球S4R2V R3 4
3、3 概念方法微思考 1底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗?为什么? 提示 不一定因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱 2如何求不规则几何体的体积? 提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形, 将不规则的几何体通过分割或补形转化为 规则的几何体求解 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分( ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积( ) (5)已知球 O 的半径为 R,其内接正方体的
4、边长为 a,则 Ra.( ) 3 2 (6)圆柱的一个底面积为 S, 侧面展开图是一个正方形, 那么这个圆柱的侧面积是 2S.( ) 题组二 教材改编 2已知圆锥的表面积等于 12 cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( ) A1 cm B2 cm C3 cm D. cm 3 2 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 S表r2rlr2r2r3r212, r24,r2. 3在如图所示的几何体中,是棱柱的为_(填写所有正确的序号) 答案 题组三 易错自纠 4体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A12 B. C8 D4 32 3 答案
5、A 解析 由题意可知正方体的棱长为 2,其体对角线为 2即为球的直径,所以球的表面积3 为 4R2(2R)212,故选 A. 5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下 的几何体体积的比为_ 答案 147 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a, b, c, 它截出棱锥的体积 V1 a b c 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 abc,剩下的几何体的体积 V2abcabcabc,所以 V1V2147. 1 48 1 48 47 48 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型一 空间几何体的结构特征 1以下命题: 以直角三角形的一边所在直线为
6、轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面; 一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误,正确对于命题,只有用平行于圆锥 底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,不正确 2给出下列四个命题: 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱; 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; 底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为_(填序号) 答案 解析 对于,平行六面
7、体的两个相对侧面也可能是矩形,故错 ; 对于,对等腰三角形 的腰是否为侧棱未作说明(如图),故错;对于,若底面不是矩形,则错;由线面垂 直的判定,可知侧棱垂直于底面,故正确 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 综上,命题不正确 思维升华 空间几何体概念辨析题的常用方法 (1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关 系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定 (2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析 题型二 空间几何体的表面积与体积 命题点 1 空间几何体的表面积 例 1 (2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2
8、的平面截该圆 柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A12 B122 C8 D102 答案 B 解析 设圆柱的轴截面的边长为 x, 则由 x28,得 x2,2 S圆柱表2S底S侧2()22212.故选 B.222 命题点 2 求简单几何体的体积 例 2 如图,正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为,D 为 BC 的中点,则三3 棱锥 AB1DC1的体积为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A3 B.3 2 C1 D. 3 2 答案 C 解析 如题图, 因为ABC 是正三角形, 且 D 为 BC 中点,则 ADBC. 又因为 BB1平面 A
9、BC,AD平面 ABC, 故 BB1AD,且 BB1BCB,BB1,BC平面 BCC1B1, 所以 AD平面 BCC1B1, 所以 AD 是三棱锥 AB1DC1的高 所以 V 三棱锥 AB1DC1 SB1DC1AD 1 3 1. 1 3 33 思维升华 空间几何体表面积、体积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理 (3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解 跟踪训练 1 如图,直三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长均为 2,D 为棱 B1C1上任意一点,则 三棱锥 DA1BC 的体积是_ 高清试卷
10、 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 2 3 3 解析 VDA1BCVB1A1BC VA1B1BC SB1BC. 1 3 3 23 3 题型三 与球有关的切、接问题 例 3 已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB3, AC4, ABAC, AA112,则球 O 的半径为( ) A. B2 C. D3 317 2 10 13 2 10 答案 C 解析 如图所示,由球心作平面 ABC 的垂线, 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM BC , 1 2 5 2 OM AA16, 1 2 所以球 O 的半径 ROA . ( 5 2) 262 13 2 引申探
11、究 1本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ,则此正方体外接球和内切球的体积各是多 少? 解 由题意可知, 此正方体的体对角线长即为其外接球的直径, 正方体的棱长即为其内切球 的直径设该正方体外接球的半径为 R,内切球的半径为 r. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又正方体的棱长为 4,故其体对角线长为 4,3 从而 V外接球 R3 (2)332, 4 3 4 3 33 V内切球 r3 23. 4 3 4 3 32 3 2本例若将直三棱柱改为“正四面体” ,则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2 的比值为多少? 解 正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S14
12、a2a2,其内切球半径 r 为正 3 4 3 四面体高的 ,即 r aa,因此内切球表面积为 S24r2,则. 1 4 1 4 6 3 6 12 a2 6 S1 S2 3a 2 a2 6 63 3本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3的正四棱锥” ,则其外接球的半径2 是多少? 解 依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为 36,高为 22 3 22(1 2 6)2 3, 因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的 中心,其外接球的半径为 3. 思维升华 “切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理 首先要找准切点,通过作截面来解决,截面过球心 (
13、2)“接”的处理 抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 跟踪训练 2 (2018全国)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为 等边三角形且其面积为 9,则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3 A12 B18 C24 D543333 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由等边ABC 的面积为 9,可得AB29,3 3 4 3 所以 AB6, 所以等边ABC 的外接圆的半径为 rAB2. 3 3 3 设球的半径为 R,球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d,则 d2.R2r21612 所以三棱锥 DABC 高的最大值为
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