2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第八章 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲 1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上, 抽象出空间线、 面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、 定 理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平
2、行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 Error! (2)异面直线所成的角 定义 : 设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围:. (0, 2 3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况 4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 5等角定理 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 概念方法微思考 1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗? 提示 不一定 因为异面直线不同
3、在任何一个平面内 分别在两个不同平面内的两条直线可 能平行或相交 2空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等吗? 提示 不一定如果这两个角开口方向一致,则它们相等,若反向则互补 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面 , 有一条公共直线 a,就说平面 , 相交,并记作 a. ( ) (2)两个平面 , 有一个公共点 A,就说 , 相交于过 A 点的任意一条直线( ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合( ) (4)经过两条相交直线,有且只有一个平面( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线( ) (6)若
4、a,b 是两条直线, 是两个平面,且 a,b,则 a,b 是异面直线( ) 题组二 教材改编 2 如图所示, 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, E, F 分别是 AB, AD 的中点, 则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 连接 B1D1,D1C,则 B1D1EF,故D1B1C 即为所求的角又 B1D1B1CD1C, B1D1C 为等边三角形,D1B1C60. 3如图,在三棱锥 ABCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,DA 的中点,则 (1)当 AC,BD 满足条件
5、_时,四边形 EFGH 为菱形; (2)当 AC,BD 满足条件_时,四边形 EFGH 为正方形 答案 (1)ACBD (2)ACBD 且 ACBD 解析 (1)四边形 EFGH 为菱形, EFEH,ACBD. (2)四边形 EFGH 为正方形,EFEH 且 EFEH, EFAC,EHBD,且 EF AC,EH BD, 1 2 1 2 ACBD 且 ACBD. 题组三 易错自纠 4 是一个平面,m,n 是两条直线,A 是一个点,若 m,n,且 Am,A,则 m,n 的位置关系不可能是( ) A垂直 B相交 C异面 D平行 答案 D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 依题意,mA
6、,n, m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行 5.如图,l,A,B,C,且 Cl,直线 ABlM,过 A,B,C 三点的平面记作 , 则 与 的交线必通过( ) A点 A B点 B C点 C 但不过点 M D点 C 和点 M 答案 D 解析 AB,MAB,M. 又 l,Ml,M. 根据公理 3 可知,M 在 与 的交线上 同理可知,点 C 也在 与 的交线上 6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中互 为异面的对数为_ 答案 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正方 体中
7、,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 相交,CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对 题型一 平面基本性质的应用 例 1 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 AB 和 AA1的中点求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B. E,F 分别是 AB,AA1的中点, EFBA1. 又 A1BD1C,EFCD1, E,C,D1,F 四点共面 (2)EFCD1,EF
8、0),则 AA1tAB. AA1 AB AB1,AA1t. A1C1,A1BBC1,2t21 cosA1BC1A 1B2BC2 1A1C2 1 2 A1B BC1 . t21t212 2 t21 t21 9 10 t3,即3. AA1 AB 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出所作的角 跟踪训练 3 (2018全国)在正方体 ABCDA1B1C1D1中, E 为棱 CC1的中点, 则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 2
9、 2 3 2 5 2 7 2 答案 C 解析 如图,因为 ABCD, 所以 AE 与 CD 所成角为EAB. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在 RtABE 中,设 AB2, 则 BE,5 则 tanEAB, BE AB 5 2 所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为. 5 2 立体几何中的线面位置关系 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化, 利用空间形式特别是图 形,理解和解决数学问题 例 如图所示, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形, BCAD 且 BC AD, BEFA 且 BE FA, 1 2 1 2 G,H 分别为 FA,FD 的中点 (
10、1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知 FGGA,FHHD, 可得 GHAD 且 GH AD. 1 2 又 BCAD 且 BC AD, 1 2 GHBC 且 GHBC, 四边形 BCHG 为平行四边形 (2)解 BEAF 且 BE AF,G 为 FA 的中点, 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 BEFG 且 BEFG, 四边形 BEFG 为平行四边形,EFBG. 由(1)知 BGCH. EFCH,EF 与 CH 共面 又 DFH,C,D,F,E 四点共面 素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很
11、多的不同,借助确定的几何模 型,利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异 1四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面个数为( ) A4 B3 C2 D1 答案 A 解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面 2a,b,c 是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( ) A若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面 B若直线 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交 C若 ab,则 a,b 与 c 所成的角相等 D若 ab,bc,则 ac 答案 C 解析 若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 相交、平行或异面 ; 若 a,b 相
12、交,b,c 相交, 则 a,c 相交、平行或异面;若 ab,bc,则 a,c 相交、平行或异面;由异面直线所成 的角的定义知 C 正确故选 C. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.如图所示, 平面 平面 l, A, B, ABlD, C, Cl, 则平面 ABC 与平面 的交线是( ) A直线 AC B直线 AB C直线 CD D直线 BC 答案 C 解析 由题意知,Dl,l,所以 D, 又因为 DAB,所以 D平面 ABC, 所以点 D 在平面 ABC 与平面 的交线上 又因为 C平面 ABC,C, 所以点 C 在平面 与平面 ABC 的交线上, 所以平面 ABC平面 CD.
13、4.如图所示, ABCDA1B1C1D1是长方体, O 是 B1D1的中点, 直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M, 则下列结论正确是( ) AA,M,O 三点共线 BA,M,O,A1不共面 CA,M,C,O 不共面 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 DB,B1,O,M 共面 答案 A 解析 连接 A1C1,AC,则 A1C1AC, A1,C1,A,C 四点共面, A1C平面 ACC1A1, MA1C,M平面 ACC1A1, 又 M平面 AB1D1, M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上, 同理 A,O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 A,M,O 三
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