2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第八章 8.7 立体几何中的向量方法(二) Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.7 立体几何中的向量方法 立体几何中的向量方法(二二)求空间角和距离求空间角和距离 最新考纲 1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研 究几何问题中的作用 1两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l1,l2的方向向量,则 l1与 l2所成的角 a 与 b 的夹角 范围 (0, 2 0, 求法cos |ab| |a|b| cos ab |a|b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面 的法向量为 n,直线 l 与平面 所成的角为 ,a 与 n 的夹 角为 ,则 sin |
2、cos |. |an| |a|n| 3求二面角的大小 (1)如图, AB, CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线, 则二面角的大小 , AB CD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)如图, n1, n2分别是二面角 l 的两个半平面 , 的法向量, 则二面角的大小 满足|cos |cosn1,n2|,二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 概念方法微思考 1利用空间向量如何求线段长度? 提示 利用|2 可以求空间中有向线段的长度AB AB AB 2如何求空间点面之间的距离? 提示 点面距离的求法: 已知 AB 为平面 的一条斜线段,n 为平面 的法向量
3、,则点 B 到平面 的距离为 |cos,n|.BO AB AB 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角( ) (4)两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是0, (0, 2 0, 2 ( ) (5)若二面角 a 的两个半平面 , 的法向量 n1,n2所成角为 ,则二面角 a 的 大小是 .( ) 题组二 教材改编 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2 已
4、知两平面的法向量分别为 m(0, 1, 0), n(0, 1, 1), 则两平面所成的二面角为( ) A45 B135 C45或 135 D90 答案 C 解析 cosm,n,即m,n45. mn |m|n| 1 12 2 2 两平面所成二面角为 45或 18045135. 3 如图, 正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为 2, 侧棱长为 2,2 则 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为_ 答案 6 解析 如图,以 A 为原点,以,(AEAB),所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴(如图)AB AE AA1 建立空间直角坐标系,设 D 为 A1B1的中点, 则 A
5、(0,0,0),C1(1,2),D(1,0,2),(1,2),322AC1 32 (1,0,2)AD 2 C1AD 为 AC1与平面 ABB1A1所成的角, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 cosC1AD AC1, AD |AC1 |AD | , 1, 3,2 21,0,22 12 9 3 2 又C1AD,C1AD . 0, 2 6 题组三 易错自纠 4 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, BCA90, M, N 分别是 A1B1, A1C1的中点, BCCACC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 1 10 2 5 30 10 2 2 答案 C
6、 解析 以点 C 为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系 设 BCCACC12, 则可得 A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), M(1, 1, 2), N(1, 0, 2), (1, 1, 2),BM (1,0,2)AN cos, BM AN BM, AN |BM |AN | 1 11 02 2 121222120222 3 6 5 . 30 10 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量,若 cosm,n ,则 l 1 2 与 所成的角为_ 答案 30 解
7、析 设 l 与 所成角为 ,cosm,n , 1 2 sin |cosm,n| ,090,30. 1 2 题型一 求异面直线所成的角 例 1 如图,四边形 ABCD 为菱形,ABC120,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE 平面 ABCD,DF平面 ABCD,BE2DF,AEEC. (1)证明:平面 AEC平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 (1)证明 如图所示,连接 BD,设 BDACG,连接 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB1. 由ABC120, 可得 AGGC . 3 由 BE平面 ABCD,ABBC2,可知 AEEC. 高清
8、试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 AEEC,所以 EG,且 EGAC.3 在 RtEBG 中,可得 BE,故 DF.2 2 2 在 RtFDG 中,可得 FG. 6 2 在直角梯形 BDFE 中, 由 BD2, BE, DF, 可得 EF, 从而 EG2FG2EF2,2 2 2 32 2 所以 EGFG. 又 ACFGG,AC,FG平面 AFC, 所以 EG平面 AFC. 因为 EG平面 AEC,所以平面 AEC平面 AFC. (2)解 如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 所在直线为 x 轴、y 轴,|为单位长度,GB 建立空间直角坐标系 Gxyz, 由(1)可得 A(0,
9、0),E(1,0,),F,32 (1,0, 2 2) C(0,0),3 所以(1,),.AE 32CF (1, 3, 2 2) 故 cos, .AE CF AE, CF |AE |CF | 3 3 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为. 3 3 思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系; (2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量; (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值; (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 跟踪训练 1 三棱柱 ABCA1
10、B1C1中, ABC 为等边三角形, AA1平面 ABC, AA1AB, N, M 分别是 A1B1,A1C1的中点,则 AM 与 BN 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 1 10 3 5 7 10 4 5 答案 C 解析 如图所示, 取 AC 的中点 D, 以 D 为原点, BD, DC, DM 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,不妨设 AC2,则 A(0,1,0),M(0,0,2), B(,0,0),N,3 ( 3 2 ,1 2,2) 所以(0,1,2),AM ,BN ( 3 2 ,1 2,2) 所以 cos, ,故选 C.AM BN AM, B
11、N |AM |BN | 7 2 5 5 7 10 题型二 求直线与平面所成的角 例 2 (2018全国)如图,四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为 折痕把DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PFBF. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)证明:平面 PEF平面 ABFD; (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 (1)证明 由已知可得 BFPF,BFEF, PFEFF,PF,EF平面 PEF, 所以 BF平面 PEF. 又 BF平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD. (2)解 如图,作 PHEF,垂足为 H.
12、 由(1)得,PH平面 ABFD. 以 H 为坐标原点,的方向为 y 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标HF BF 系 Hxyz. 由(1)可得,DEPE. 又 DP2,DE1, 所以 PE . 3 又 PF1,EF2,所以 PEPF. 所以 PH,EH . 3 2 3 2 则 H(0,0,0),P,D, (0,0, 3 2) (1, 3 2,0) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ,.DP (1, 3 2, 3 2) HP (0,0, 3 2) 又为平面 ABFD 的法向量,HP 设 DP 与平面 ABFD 所成的角为 , 则 sin |cos,|.HP DP |HP
13、, DP | |HP |DP | 3 4 3 3 4 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为. 3 4 思维升华 若直线 l 与平面 的夹角为 , 直线 l 的方向向量 l 与平面 的法向量 n 的夹角为 , 则 或 ,故有 sin |cos |. 2 2 |ln| |l|n| 跟踪训练2 (2018全国)如图, 在三棱锥PABC中, ABBC2, PAPBPCAC4,2 O 为 AC 的中点 (1)证明:PO平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 MPAC 为 30,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 (1)证明 因为 PAPCAC4, O 为 AC 的中点,
14、 所以 OPAC,且 OP2 . 3 如图,连接 OB. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 ABBCAC, 2 2 所以ABC 为等腰直角三角形, 所以 OBAC,OB AC2. 1 2 由 OP2OB2PB2知 POOB. 因为 OPOB,OPAC,OBACO,OB,AC平面 ABC, 所以 PO平面 ABC. (2)解 由(1)知 OP,OB,OC 两两垂直,则以 O 为坐标原点,分别以 OB,OC,OP 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示 由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0), A(0,2,0),C(0,2,0), P(0
15、,0,2),(0,2,2)3AP 3 由(1)知平面 PAC 的一个法向量为(2,0,0)OB 设 M(a,2a,0)(0a2),则(a,4a,0)AM 设平面 PAM 的法向量为 n(x,y,z) 由n0,n0,得AP AM Error!Error!可取 ya,得平面 PAM 的一个法向量为 n(a4),a,a),333 所以 cos,n.OB OB, n |OB, |n| 23a4 23a423a2a2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由已知可得|cos,n|cos 30,OB 3 2 所以, 23|a4| 23a423a2a2 3 2 解得 a4(舍去)或 a . 4 3 所
16、以 n. ( 83 3 ,4 3 3 ,4 3) 又(0,2,2),所以 cos,n.PC 3PC 3 4 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为. 3 4 题型三 求二面角 例 3 (2018济南模拟)如图 1,在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中,ABCD,且 CD6,AB12, 将它沿对称轴 OO1折起,使平面 ADO1O平面 BCO1O.如图 2,点 P 为 BC 中点,点 E 在线 段 AB 上(不同于 A,B 两点),连接 OE 并延长至点 Q,使 AQOB. (1)证明:OD平面 PAQ; (2)若 BE2AE,求二面角 CBQA 的余弦值 (1)证明 由题设知 OA,OB
17、,OO1两两垂直,所以以 O 为坐标原点,OA,OB,OO1所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 AQ 的长度为 m, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则相关各点的坐标为 O(0, 0, 0), A(6, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 3, 6), D(3, 0, 6), Q(6, m,0) 点 P 为 BC 中点,P, (0, 9 2,3) (3,0,6),(0,m,0),OD AQ PQ (6,m 9 2,3) 0,0,OD AQ OD PQ ,且与不共线,OD AQ OD PQ AQ PQ OD平面 PAQ. (2)解
18、BE2AE,AQOB,AQ OB3, 1 2 则 Q(6,3,0),(6,3,0),(0,3,6)QB BC 设平面 CBQ 的法向量为 n1(x,y,z), Error!Error! 令 z1,则 y2,x1,则 n1(1,2,1), 易知平面 ABQ 的一个法向量为 n2(0,0,1), 设二面角 CBQA 的平面角为 ,由图可知, 为锐角,则 cos . | n1n2 |n1|n2| 6 6 思维升华 利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量,求法向量的方法主要有 两种:求平面的垂线的方向向量;利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零, 列方程组求解 跟踪训练 3 (2018
19、全国)如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧所在平面 CD 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 垂直,M 是上异于 C,D 的点 CD (1)证明:平面 AMD平面 BMC; (2)当三棱锥 MABC 体积最大时,求平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值 (1)证明 由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD, 所以 BC平面 CMD,又 DM平面 CMD, 故 BCDM. 因为 M 为上异于 C,D 的点,且 DC 为直径, CD 所以 DMCM. 又 BCCMC,BC,CM平面 BMC, 所以 DM平面 BM
20、C. 又 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC. (2)解 以 D 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.DA 当三棱锥 MABC 体积最大时,M 为的中点由题设得 CD D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), (2,1,1),(0,2,0),(2,0,0),AM AB DA 设 n(x,y,z)是平面 MAB 的法向量,则 Error!Error!即Error!Error! 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 可取 n(1,0,2), 是平面 MCD 的一个法向量,因此DA cosn,D
21、A nDA, |n|DA, | 5 5 sinn,.DA 25 5 所以平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值是. 25 5 利用空间向量求空间角 例 (12 分)如图, 四棱锥 SABCD 中, ABD 为正三角形, BCD120, CBCDCS2, BSD90. (1)求证:AC平面 SBD; (2)若 SCBD,求二面角 ASBC 的余弦值 (1)证明 设 ACBDO,连接 SO, 如图,因为 ABAD,CBCD, 所以 AC 是 BD 的垂直平分线, 即 O 为 BD 的中点, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 且 ACBD. 1 分 在BCD 中, 因为 CBCD
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