2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第六章 6.1 数列的概念与简单表示法 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.1 数列的概念与简单表示法 数列的概念与简单表示法 最新考纲 1.通过日常生活中的实例, 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、 通项公式).2.了解数列是一种特殊函数 1数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列着的一列数 数列的项数列中的每一个数 数列的通项数列an的第 n 项 an 通项公式 数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式 anf(n)表示,这个公式 叫做数列的通项公式 前 n 项和数列an中,Sna1a2an叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法列表格表示 n 与 an的对应关系 高清试卷
2、 下载可打印 高清试卷 下载可打印 图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 公式法 递推公式 使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1,a2和 an1f(an,an1)等 表示数列的方法 3.an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为 Sn, 则 anError! 4数列的分类 分类标准类型满足条件 有穷数列项数有限 项数 无穷数列项数无限 递增数列an1 an 递减数列an1 an, 即(n1)2(n1)n2n, 整理,得 2n10,即 (2n1) (*) 因为 n1,所以(2n1)3,要使不等式(*)恒成立,只需 3. 高清试卷 下载可打
3、印 高清试卷 下载可打印 5数列an中,ann211n(nN*),则此数列最大项的值是 答案 30 解析 ann211n 2 , (n 11 2) 121 4 nN*,当 n5 或 n6 时,an取最大值 30. 6已知数列an的前 n 项和 Snn21,则 an . 答案 Error! 解析 当 n1 时,a1S12,当 n2 时, anSnSn1n21(n1)212n1, a12 不满足上式 故 anError! 题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) , , , , ,; 2 3 4 15 6 35 8 63 10 99
4、 (2)1,7,13,19,; (3) ,2,8, ,; 1 2 9 2 25 2 (4)5,55,555,5 555,. 解 (1)这是一个分数数列, 其分子构成偶数数列, 而分母可分解为 13, 35, 57, 79, 911,每一项都是两个相邻奇数的乘积,分子依次为 2,4,6,相邻的偶数故 所求数列的一个通项公式为 an. 2n 2n12n1 (2)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(1)n,观察各项的绝对值,后一项的 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 绝对值总比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为 an(1)n(6n5) (3)数列的各项,有的是分数,有
5、的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察即 , 1 2 4 2 9 2 , ,分子为项数的平方,从而可得数列的一个通项公式为 an. 16 2 25 2 n2 2 (4)将原数列改写为 9, 99, 999,易知数列 9,99,999,的通项为 10n1, 5 9 5 9 5 9 故所求的数列的一个通项公式为 an (10n1) 5 9 思维升华 求数列通项时,要抓住以下几个特征: (1)分式中分子、分母的特征 (2)相邻项的变化特征 (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征 (4)各项符号特征等 (5)若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式 跟 踪 训 练 1 (1)数
6、列 , , 的 一 个 通 项 公 式 an 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 . 答案 (1)n 1 nn1 解析 这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数, 且奇数项为负, 偶数项 为正,所以它的一个通项公式为 an(1)n. 1 nn1 (2)数列an的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公式是 an . 3 2 7 10 9 17 答案 2n1 n21 解析 数列an的前 4 项可变形为,故 an 2 11 121 2 21 221 2 31 321 2 41 421 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 . 2n1 n21 题型二
7、由 an与 Sn的关系求通项公式 例 2 (1)已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n,则 an . 答案 4n5 解析 a1S1231, 当 n2 时,anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5, 由于 a1也适合此等式,an4n5. (2)(2018全国)记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1,则 S6 . 答案 63 解析 Sn2an1,当 n2 时,Sn12an11, anSnSn12an2an1(n2), 即 an2an1(n2) 当 n1 时,a1S12a11,得 a11. 数列an是首项 a11,公比 q2 的等比数列, Sn12n, a11qn 1q
8、 1 12n 12 S612663. (3)已知数列an满足 a12a23a3nan2n,则 an . 答案 Error! 解析 当 n1 时,由已知,可得 a1212, a12a23a3nan2n, 故 a12a23a3(n1)an12n1(n2), 由得 nan2n2n12n1, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 an. 2n1 n 显然当 n1 时不满足上式, anError! 思维升华 已知 Sn求 an的常用方法是利用 anError!一定要检验 a1的情况 跟踪训练 2 (1)已知数列an的前 n 项和 Sn3n1,则 an . 答案 Error! 解析 当 n1 时,a
9、1S1314; 当 n2 时,anSnSn1(3n1)(3n11)23n1. 当 n1 时,23112a1, 所以 anError! (2)设数列an满足 a13a232a33n1an ,则 an . n 3 答案 1 3n 解析 因为 a13a232a33n1an , n 3 则当 n2 时, a13a232a33n2an1, n1 3 得 3n1an ,所以 an (n2) 1 3 1 3n 由题意知 a1 符合上式,所以 an. 1 3 1 3n (3)若数列an的前 n 项和 Sn an ,则an的通项公式是 an . 2 3 1 3 答案 (2)n1 高清试卷 下载可打印 高清试卷
10、下载可打印 解析 当 n1 时,a1S1 a1 ,即 a11; 2 3 1 3 当 n2 时,anSnSn1 an an1, 2 3 2 3 故2,故 an(2)n1. an an1 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例 3 设数列an中,a12,an1ann1,则 an . 答案 n 2n2 2 解析 由条件知 an1ann1, 则 an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2. n2n2 2 引申探究 1若将“an1ann1”改为“an1an” ,如何求解? n n1 解 an1an,a12,an0, n n1 . an1 an n n1 ana1 an an
11、1 an1 an2 an2 an3 a3 a2 a2 a1 2 . n1 n n2 n1 n3 n2 1 2 2 n 2若将“an1ann1”改为“an12an3” ,如何求解? 解 设递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant),即 an12ant,解得 t3. 故 an132(an3)令 bnan3,则 b1a135,且2.所以bn是以 5 bn1 bn an13 an3 为首项,2 为公比的等比数列 所以 bn52n1,故 an52n13. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3若将“an1ann1”改为“an1” ,如何求解? 2an an2 解 an1,a12,
12、an0, 2an an2 ,即 , 1 an1 1 an 1 2 1 an1 1 an 1 2 又 a12,则 , 1 a1 1 2 是以 为首项, 为公差的等差数列 1 an 1 2 1 2 (n1) .an . 1 an 1 a1 1 2 n 2 2 n 4若将本例条件换为“a11,an1an2n” ,如何求解? 解 an1an2n,an2an12n2,故 an2an2. 即数列an的奇数项与偶数项都是公差为 2 的等差数列 当 n 为偶数时,a21,故 ana22n1. ( n 21) 当 n 为奇数时,an1an2n,an1n(n1 为偶数),故 ann. 综上所述,anError!n
13、N*. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现 anan1m 时,构造等差数列 (2)当出现 anxan1y 时,构造等比数列 (3)当出现 anan1f(n)时,用累加法求解 (4)当出现f(n)时,用累乘法求解 an an1 跟踪训练 3 (1)已知数列an满足 a11,a24,an22an3an1(nN*),则数列an的通 项公式 an . 答案 32n12 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由 an22an3an10, 得 an2an12(an1an), 数列an1an是以 a2a13 为首项,2 为公比的等比数列,an1an32n1, 当 n2
14、 时,anan132n2,a3a232,a2a13, 将以上各式累加,得 ana132n23233(2n11), an32n12(当 n1 时,也满足) (2)在数列an中,a13,an1an,则通项公式 an . 1 nn1 答案 41 n 解析 原递推公式可化为 an1an , 1 n 1 n1 则 a2a1 ,a3a2 , 1 1 1 2 1 2 1 3 a4a3 ,an1an2, 1 3 1 4 1 n2 1 n1 anan1 ,逐项相加得 ana11 , 1 n1 1 n 1 n 故 an4 ,经验证 a1,a2也符合 1 n 题型四 数列的性质 命题点 1 数列的单调性 例 4 已
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