2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第十二章 12.4 二项分布与正态分布 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 12.4 二项分布与正态分布 二项分布与正态分布 最新考纲 1.在具体情境中,了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解 n 次独立重复 试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.3.通过实际问题,借助直观(如实际问 题的直方图)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 1条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B, 在已知事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率叫做条件概率, 用符号 P(B|A)来表示,其公式为 P(B|A)(P(A)0) PAB PA 在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P
2、(B|A). nAB nA (2)条件概率具有的性质 0P(B|A)1; 如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 2相互独立事件 (1)对于事件 A,B,若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响,则称事件 A,B 是相互独立 事件 (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)P(B), P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 , 与 B, 与 也都相互独立BAAB (4)若 P(AB)P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3独立重复试验与二项分布
3、 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试 验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都 是一样的 (2)在n次独立重复试验中, 用X表示事件A发生的次数, 设每次试验中事件A发生的概率为p, 则 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2,n),此时称随机变量 X 服从二项分布,记为 X k n B(n,p),并称 p 为成功概率 4两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)p,D(X)p(1p) (2)若 XB(n,p),则 E(X)np,D(X)np(1p) 5正态分布
4、 (1)正态曲线:函数 ,(x),x(,),其中实数 和 为参数(0, 2 2 () 2 1 e 2 x u R)我们称函数 ,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线 (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线 x 对称; 曲线在 x 处达到峰值; 1 2 曲线与 x 轴之间的面积为 1; 当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x 轴平移,如图甲所示; 当 一定时,曲线的形状由 确定, 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中 ; 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散,如图乙所示 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下
5、载可打印 (3)正态分布的定义及表示 一般地,如果对于任何实数 a,b(a2c 1) P(X2c1)P(X4,根据正态曲线的对称性, 当函数 f(x)x24x 没有零点的概率是 时,4. 1 2 题型一 条件概率 例 1 (1)在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取一 件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为 答案 4 99 解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件 A 为“第一次取到不合格品” ,事件 B 为“第 二次取到不合格品” ,则所求的概率为 P(B|A), 因为 P(AB),P(A), C2 5 C 2100 1
6、495 C1 5 C 1100 1 20 所以 P(B|A). PAB PA 1 495 1 20 4 99 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,还有 99 件产 品,其中有 4 件不合格品,因此第二次取到不合格品的概率为. 4 99 (2)一个正方形被平均分成 9 个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)设 投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A,投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正 方形区域的事件记为 B,求 P(AB),P(A|B) 解 如图,n()9,n(A)3,n(B)4,
7、 n(AB)1,P(AB) , 1 9 P(A|B) . nAB nB 1 4 思维升华 (1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A),这是通用的求条件概率的 PAB PA 方法 (2)借助古典概型概率公式, 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A), 再在事件 A 发生的条件下求 事件 B 包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A). nAB nA 跟踪训练 1 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡, 这些灯泡的外形与功率都相同且灯 口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第 1 次取 到的是螺口灯泡的条件下,第 2 次取
8、到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D. 3 10 2 9 7 8 7 9 答案 D 解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次取到的是螺口灯泡” ,事件 B 为“第 2 次取到的是卡口 灯泡” , 则 P(A),P(AB) , 3 10 3 10 7 9 7 30 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则所求概率为 P(B|A) . PAB PA 7 30 3 10 7 9 方法二 第 1 次取到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡,其中有 7 只卡口灯泡,故第 2 次取到卡口 灯泡的概率为 . C1 7 C1 9 7 9 题型二 独立重复试验与二项分布 命题点 1 独立事件的概率
9、例 2 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动,某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭 同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ,甲、丙两个家庭 3 4 都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是 .若各家庭回答是否正确互不 1 12 1 4 影响 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率 解 (1)记 “甲回答正确这道题” “乙回答正确这道题” “丙回答正确这道题” 分别为事件 A, B, C,则 P(A) , 3 4 且有Error!Error! 即Error!Error! 所以 P(B
10、) ,P(C) . 3 8 2 3 (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0P( )P( )P( )P( )A B CABC , 1 4 5 8 1 3 5 96 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1P(A B C)B CA CA B , 3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24 所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为 P1P0P11. 5 96 7 24 21 32 命题点 2 独立重复试验 例 3 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要 么不出现音乐;每盘游戏击
11、鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分, 出现三次音乐获得 100 分, 没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分) 设每次击鼓出现音 乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立 1 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? 解 (1)X 可能的取值为 10,20,100,200. 根据题意,有 P(X10)C 12 ,1 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X20)C 21 ,2 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X100)C 30 ,3 3 ( 1 2) (1 1 2)
12、 1 8 P(X200)C 03 .0 3 ( 1 2) (1 1 2) 1 8 所以 X 的分布列为 X1020100200 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3), 则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200) . 1 8 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)1 31 . ( 1 8) 1 512 511 512 因此,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是. 511 512 命题点 3 二项分布 例 4 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结
13、果保留到小数点后第 2 位): (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率 解 令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数, 则 XB.(5,0.8) (1)“5 次 预 报 中 恰 有 2 次 准 确 ”的 概 率 为 P(X 2) C 0.82 32 5 (10.8) 100.640.0080.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为 P(X2)1P(X0)P(X1)1C 0.80 0 5 5C 0.8410.000 320.006 40.99. (10.8) 1
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