2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第十二章 高考专题突破六 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 题型一 离散型随机变量的均值与方差 例 1 某品牌汽车 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所 示 已知分 9 期付款的频率为 0.2.4S 店经销一辆该品牌的汽车, 顾客分 3 期付款, 其利润为 1 万元;分 6 期或 9 期付款,其利润为 1.5 万元;分 12 期或 15 期付款,其利润为 2 万元用 表示经销一辆汽车的利润. 付款方式分 3 期分 6 期分 9 期分 12 期分 15 期 频数4020a10b (1)求上表中的
2、a,b 值; (2)若以频率作为概率,求事件 A“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位采用分 9 期付 款”的概率 P(A); (3)求 的分布列及均值 E() 解 (1)由0.2,得 a20. a 100 又 4020a10b100,所以 b10. (2)记分期付款的期数为 , 的可能取值是 3,6,9,12,15. 依题意,得 P(3)0.4,P(6)0.2,P(9)0.2, 40 100 20 100 P(12)0.1,P(15)0.1. 10 100 10 100 则 “购买该品牌汽车的 3 位顾客中, 至多有 1 位分 9 期付款” 的概率为 P(A)0.83C 0.2(1
3、 1 3 0.2)20.896. (3)由题意,可知 只能取 3,6,9,12,15. 而 3 时,1;6 时,1.5;9 时,1.5;12 时,2;15 时,2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 的可能取值为 1,1.5,2,且 P(1)P(3)0.4,P(1.5)P(6)P(9)0.4, P(2)P(12)P(15)0.10.10.2. 故 的分布列为 11.52 P0.40.40.2 所以 的均值 E()10.41.50.420.21.4. 思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解,一般分两步 : 一是定型,即先判断随机变量 的分布是特殊类型,还是一般类型,如两点分布
4、、二项分布、超几何分布等属于特殊类型; 二是定性,对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解,而对于一般类型的随机 变量,应先求其分布列然后代入相应公式计算,注意离散型随机变量的取值与概率的对应 跟踪训练 1 某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学生实践中心积极参与,从 8 名学生会干部(其中男生 5 名,女生 3 名)中选 3 名参加志愿者服务活动若所选 3 名学生中 的女生人数为 X,求 X 的分布列及均值 解 因为8名学生会干部中有5名男生, 3名女生, 所以X的分布列服从参数N8, M3, n3 的超几何分布 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,其中 P(Xi)(i0,
5、1,2,3), Ci 3C3i 5 C3 8 则 P(X0),P(X1), C0 3C3 5 C3 8 5 28 C1 3C2 5 C3 8 15 28 P(X2),P(X3). C2 3C1 5 C3 8 15 56 C3 3C0 5 C3 8 1 56 所以 X 的分布列为 X0123 P 5 28 15 28 15 56 1 56 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 X 的均值为 E(X)0123 . 5 28 15 28 15 56 1 56 63 56 9 8 题型二 概率与统计的综合应用 例 2 (2016全国)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,
6、机器有一易损 零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元在机器使用期间,如 果备件不足再购买,则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此 搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 (1)求 X 的分布列; (2)若要求 P(Xn)0.5,确定 n 的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在n19与n20
7、之中选其一, 应选用哪个? 解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,X 的可能取值为 16,17,18,19,20,21,22,从而 P(X16)0.20.20.04; P(X17)20.20.40.16; P(X18)20.20.20.40.40.24; P(X19)20.20.220.40.20.24; P(X20)20.20.40.20.20.2; P(X21)20.20.20.08; P(X22)0.20.20.04; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 X 的分布列为
8、 X16171819202122 P0.040.160.240.240.20.080.04 (2)由(1)知 P(X18)0.44,P(X19)0.68,故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元) 当 n 19 时 , E(Y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08 (192003500)0.044 040(元) 当 n20 时, E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.04 4 080(元) 可知当 n19 时所需费用的期望值小于 n20 时所需费用的期
9、望值,故应选 n19. 思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体, 已成为近几年高考的一大亮点和热 点它与其他知识融合、渗透,情境新颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 跟踪训练 2 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获得利润 500 元, 未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布 直方图, 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品 以X(单位 : t,100X150) 表示下一个销售季度内的市场需求量, T(单位 : 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 (1)将 T 表示为 X
10、 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的 频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量 X100,110),则取 X105,且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率),求 T 的均值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)当 X100,130)时, T500X300(130X)800X39 000. 当 X130,150时,T50013065 000. 所以 TError! (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 12
11、0X150. 由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 T45 00053 00061 00065 000 P0.10.20.30.4 所以 E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400. 题型三 概率与统计案例的综合应用 例 3 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明” ,彰显出中国式创新的 强劲活力某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取 100 名进行调查,得到如下数据: 每周移动支付次数1 次2
12、 次3 次4 次5 次6 次及以上总计 男1087321545 女546463055 总计1512137845100 (1)把每周使用移动支付超过 3 次的用户称为“移动支付活跃用户” ,能否在犯错误概率不超 过 0.005 的前提下,认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关? (2)把每周使用移动支付 6 次及 6 次以上的用户称为“移动支付达人” ,视频率为概率,在我 市所有“移动支付达人”中,随机抽取 4 名用户 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 求抽取的 4 名用户中,既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率; 为了鼓励男性用户使用移动支付,对抽出的男“移动支付达人
13、”每人奖励 300 元,记奖励 总金额为 X,求 X 的分布列及均值 附公式及表如下:K2. nadbc2 abcdacbd P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 解 (1)由表格数据可得 22 列联表如下: 非移动支付活跃用户移动支付活跃用户总计 男252045 女154055 总计4060100 将列联表中的数据代入公式计算,得 K2 nadbc2 abcdacbd 8.2497.879. 100 25 4015 202 40 60 55 45 2 450 297 所以在
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