2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第四章 4.5 简单的三角恒等变换 第2课时 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 课时 简单的三角恒等变换课时 简单的三角恒等变换 题型一 三角函数式的化简 1化简: . sin 22cos2 sin( 4) 答案 2cos 2 解析 原式2cos . 2sin cos 2cos2 2 2 sin cos 2 2化简: . 2cos4x2cos2x1 2 2tan( 4x)sin 2( 4x) 答案 cos 2x 1 2 解析 原式 1 24cos 4x4cos2x1 2 sin( 4x) cos( 4x) cos2( 4x) 2cos2 x12 4sin( 4x)cos( 4x) cos 2x. cos22x 2sin
2、( 22x) cos22x 2cos 2x 1 2 3化简:2cos() sin2 sin 解 原式sin22sin cos sin 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 sin2sin cos sin sin coscos sin2sin cos sin cos sinsin cos sin . sin sin sin sin 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角,二看名,三看式子结构与特征 (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式 子和三角函数公式之间的共同点 题型二 三角函数的求值 命题点 1 给角求值与给值求值
3、例 1 (1)(2018太原质检)2sin 50sin 10(1tan 10) .32sin280 答案 6 解析 原式 (2sin 50sin 10 cos 10 3sin 10 cos 10 ) sin 802 (2sin 502sin 10 1 2cos 10 3 2 sin 10 cos 10 ) cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)22 2sin(5010)2.22 3 2 6 (2)(2018聊城模拟)已知 cos,则 sin . ( 4) 10 10 (0, 2) (2 3) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 43 3 10 解析
4、由题意可得 cos2,cossin 2 ,即 sin 2 . ( 4) 1cos(2 2) 2 1 10 (2 2) 4 5 4 5 因为 cos0, ( 4) 10 10 (0, 2) 所以 00. 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 (,2), ( 3 2 ,2) . 7 4 (2)已知 ,(0,),且 tan() ,tan ,则 2 的值为 1 2 1 7 答案 3 4 解析 tan tan() 0, tantan 1tantan 1 2 1 7 11 2 1 7 1 3 00, 2tan 1tan2 2 1 3 1(1 3) 2 3 4 00, (0, 2) 2si
5、n 3cos ,又 sin2cos21, cos ,sin , 2 13 3 13 sin( 4) sin 2cos 21 . 2 2 sin cos sin cos 2cos2sin2 2 4cos 26 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)已知 sin ,sin(), 均为锐角,则 . 5 5 10 10 答案 4 解析 因为 , 均为锐角,所以 . 2 2 又 sin(),所以 cos(). 10 10 3 10 10 又 sin ,所以 cos , 5 5 2 5 5 所以 sin sin()sin cos()cos sin(). 5 5 3 10 10 2 5 5(
6、 10 10) 2 2 所以 . 4 题型三 三角恒等变换的应用 例 3 (2017浙江)已知函数 f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)3 (1)求 f的值; ( 2 3) (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解 (1)由 sin ,cos ,得 2 3 3 2 2 3 1 2 f 222 2. ( 2 3)( 3 2) ( 1 2) 3 3 2 ( 1 2) (2)由 cos 2xcos2xsin2x 与 sin 2x2sin xcos x, 得 f(x)cos 2xsin 2x2sin.3 (2x 6) 所以 f(x)的最小正周期是 . 由正弦函数的性质,得
7、 2k2x 2k,kZ, 2 6 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得 kxk,kZ. 6 2 3 所以 f(x)的单调递增区间为 (kZ) 6k, 2 3 k 思维升华 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公 式的逆用和变形使用 (2)把形如 yasin xbcos x 化为 ysin(x), 可进一步研究函数的周期性、 单调性、a2b2 最值与对称性 跟踪训练 2 (2018北京)已知函数 f(x)sin2xsin xcos x.3 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)在区间上的最大值为
8、 ,求 m 的最小值 3,m 3 2 解 (1)f(x)sin2xsin xcos x3 cos 2xsin 2x 1 2 1 2 3 2 sin , (2x 6) 1 2 所以 f(x)的最小正周期 T. 2 2 (2)由(1)知,f(x)sin . (2x 6) 1 2 由题意知 xm,所以2x 2m . 3 5 6 6 6 要使得 f(x)在区间上的最大值为 , 3,m 3 2 即 sin在区间上的最大值为 1, (2x 6) 3,m 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 2m ,即 m . 6 2 3 所以 m 的最小值为 . 3 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
9、讨论形如 yasin xbcos x 型函数的性质, 一律化成 ysin(x)型的函数 ;a2b2 研究 yAsin(x)型函数的最值、单调性,可将 x 视为一个整体,换元后结合 ysin x 的图象解决 例 已知函数 f(x)4tan xsincos. ( 2x) (x 3) 3 (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f(x)在区间上的单调性 4, 4 解 (1)f(x)的定义域为Error!. f(x)4tan xcos xcos (x 3) 3 4sin xcos4sin x (x 3) 3 ( 1 2cos x 3 2 sin x) 3 2sin xcos x2sin2
10、xsin 2x(1cos 2x)3333 sin 2xcos 2x2sin.3 (2x 3) 所以 f(x)的最小正周期 T. 2 2 (2)因为 x,所以 2x , 4, 4 3 5 6 , 6 由 ysin x 的图象可知,当 2x , 3 5 6 , 2 即 x时,f(x)单调递减; 4, 12 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 2x ,即 x时,f(x)单调递增 3 2, 6 12, 4 所以当 x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减 4, 4 12, 4 4, 12 1(2018厦门质检)若 sin ,则 cos 等于( ) ( 3) 1 4 ( 32) A
11、B C. D. 7 8 1 4 1 4 7 8 答案 A 解析 coscos ( 32)( 2 32) cos ( 2 32)12sin 2( 3) . 12 ( 1 4) 2 7 8 2.等于( ) cos 85sin 25cos 30 cos 25 A B. C. D1 3 2 2 2 1 2 答案 C 解析 原式 sin 5 3 2 sin 25 cos 25 . sin3025 3 2 sin 25 cos 25 1 2cos 25 cos 25 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3已知 sin 2,tan() ,则 tan()等于( ) 3 5( 2 2 ) 1 2
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