2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义:第四章 4.7 解三角形的实际应用 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.7 解三角形的实际应用 解三角形的实际应用 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题 测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目 标视线在水平视线上方的叫做仰角,目 标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到 目标方向线之间的夹角叫做方位角方 位角 的范围是 0360 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角,通常表达为北(南)偏东(西) 例:(1)北偏东 : (2)南偏西 : 坡角与 坡比 坡面与水平面所
2、成二面角的度数叫坡 度, 为坡角 ; 坡面的垂直高度与水平长 度之比叫坡比,即 i tan h l 概念方法微思考 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在实际测量问题中有哪几种常见类型,解决这些问题的基本思想是什么? 提示 实际测量中有高度、 距离、 角度等问题, 基本思想是根据已知条件, 构造三角形(建模), 利用正弦定理、余弦定理解决问题 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从A处望B处的仰角为, 从B处望A处的俯角为, 则, 的关系为180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.( ) 0, 2 (3)方位角与方向角其实质是一样
3、的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系( ) (4)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是.( ) 0, 2) 题组二 教材改编 2.如图所示, 设 A, B 两点在河的两岸, 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C, 测出 A, C 的距离为 50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出 A,B 两点的距离为_ m. 答案 502 解析 由正弦定理得, AB sinACB AC sin B 又 B30, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 AB50(m) ACsinACB sin B 50 2 2 1 2 2 3如图,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30
4、,沿倾斜角为 15的斜坡向上走 a 米到 B,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60,则山高 h_米 答案 a 2 2 解析 由题图可得PAQ30, BAQ15,在PAB 中,PAB15, 又PBC60, BPA30,(90)(90) 在PAB 中,PBa, a sin 30 PB sin 15 62 2 PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a. 62 2 2 2 题组三 易错自纠 4要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45,在 D 点测 得塔顶 A 的仰角 30, 并测得水平面上的BCD120, CD40 m, 则电视塔的高度
5、为( ) A10 m B20 m2 C20 m D40 m3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 D 解析 设电视塔的高度为 x m, 则 BCx, BDx.在BCD 中, 由余弦定理得 3x2x24023 240xcos 120,即 x220x8000,解得 x20(舍去)或 x40.故电视塔的高度为 40 m. 5在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60,C 点的俯角是 70,则 BAC_. 答案 130 解析 6070130. 6海上有 A,B,C 三个小岛,A,B 相距 5 海里,从 A 岛望 C 和 B 成 45视角,从 B3 岛望 C 和 A
6、 成 75视角,则 B,C 两岛间的距离是_海里 答案 52 解析 由题意可知ACB60,由正弦定理得,即, AB sinACB BC sinBAC 53 sin 60 BC sin 45 得 BC5 . 2 题型一 测量距离问题 1 (2018长春检测)江岸边有一炮台高 30 m, 江中有两条船, 船与炮台底部在同一水平面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60,而且两条船与炮台底部连线成 30角,则两条船相距 _m. 答案 103 解析 如图, OMAOtan 4530(m), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ONAOtan 303010(m), 3 3 3 在MON 中,
7、由余弦定理得 MN9003002 30 103 3 2 10 (m)3003 2.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,要测出 A,B 的距离,测量者可 以在河岸边选定两点 C,D,若测得 CD km,ADBCDB30,ACD60, 3 2 ACB45,则 A,B 两点间的距离为_ km. 答案 6 4 解析 ADCADBCDB60,ACD60, DAC60, ACDC km. 3 2 在BCD 中,DBC45, 由正弦定理,得 BCsinBDCsin 30(km) DC sinDBC 3 2 sin 45 6 4 在ABC 中,由余弦定理, 得 AB2AC2BC22ACB
8、Ccos 45 2 . 3 4 3 8 3 2 6 4 2 2 3 8 AB km. 6 4 A,B 两点间的距离为 km. 6 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3如图,为了测量两座山峰上 P,Q 两点之间的距离,选择山坡上一段长度为 300 m3 且和 P, Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点, 现测得PAB90, PAQ PBAPBQ60,则 P,Q 两点间的距离为_ m. 答案 900 解析 由已知,得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60, AQB30,ABBQ. 又 PB 为公共边,PABPQB, PQPA. 在 RtPAB 中,APABta
9、n 60900,故 PQ900, P,Q 两点间的距离为 900 m. 思维升华 求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解; 若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理 题型二 测量高度问题 例 1 (2018福州测试)如图,小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直 线匀速行驶,小明在 A 处测得公路上 B,C 两点的俯角分别为 30,45,且BAC135, 若山高 AD100 m,汽车从 B 点到 C 点历时 14 s,则这辆汽车的速度约
10、为_ m/s.(精 确到 0.1,参考数据:1.414,2.236)25 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 22.6 解析 因为小明在A处测得公路上B, C两点的俯角分别为30, 45, 所以BAD60, CAD 45, 设这辆汽车的速度为 v m/s, 则 BC14v, 在 RtADB 中, AB AD cosBAD AD cos 60 200.在 RtADC 中, AC100.在ABC 中, 由余弦定理, 得BC2AC2 AD cosCAD 100 cos 45 2 AB22ACABcosBAC,所以(14v)2(100)220022100200cos 135,所以 v22
11、 22.6,所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s. 5010 7 思维升华 (1)高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似 的,基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中 (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一 个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错 跟踪训练 1 如图所示, 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h,则山高 CD_. 答案 hcos sin sin 解析 由已知得BCA90,ABC
12、90,BAC,CAD. 在ABC 中,由正弦定理得, AC sinABC BC sinBAC 即, AC sin90 BC sin AC. BCcos sin hcos sin 在 RtACD 中,CDACsinCADACsin . hcos sin sin 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故山高 CD 为. hcos sin sin 题型三 角度问题 例 2 如图所示,一艘巡逻船由南向北行驶,在 A 处测得山顶 P 在北偏东 15(BAC15) 的方向,匀速向北航行 20 分钟后到达 B 处,测得山顶 P 位于北偏东 60的方向,此时测得 山顶 P 的仰角为 60,已知山高为 2
13、 千米3 (1)船的航行速度是每小时多少千米? (2)若该船继续航行 10 分钟到达 D 处,问此时山顶位于 D 处南偏东多少度的方向? 解 (1)在BCP 中,由 tanPBC, PC BC 得 BC2, PC tanPBC 在ABC 中,由正弦定理得,即, BC sinBAC AB sinBCA 2 sin 15 AB sin 45 所以 AB2(1),3 故船的航行速度是每小时 6(1)千米3 (2)在BCD 中,BD1,BC2,CBD60,3 则由余弦定理得 CD,6 在BCD 中,由正弦定理得, CD sinDBC BC sinCDB 即,所以 sinCDB, 6 sin 60 2
14、sinCDB 2 2 所以,山顶位于 D 处南偏东 45的方向 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义 (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 跟踪训练 2 如图所示, 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东40的方向上, 灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上, 则灯塔A在灯塔B的_ 的方向上 答案 北偏西 10 解析 由已知得ACB18
15、0406080, 又 ACBC,AABC50,605010, 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10的方向上 1(2018武汉调研)已知 A,B 两地间的距离为 10 km,B,C 两地间的距离为 20 km,现测 得ABC120,则 A,C 两地间的距离为( ) A10 km B10 km3 C10 km D10 km57 答案 D 解析 如图所示,由余弦定理可得 AC210040021020cos 120700,AC10 . 7 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.如图所示,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15,向山顶前进 100
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