2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第三章 导数及其应用 高考专题突破一 第2课时 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 课时 导数与方程课时 导数与方程 题型一 求函数零点个数 例 1 已知函数 f(x)2a2ln xx2(a0) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)讨论函数 f(x)在区间(1,e2)上零点的个数(e 为自然对数的底数) 解 (1)f(x)2a2ln xx2, f(x)2x, 2a2 x 2a22x2 x 2xaxa x x0,a0,当 00, 当 xa 时,f(x)0, 即 a时, 由于 f(1)10, f(e2)2a2ln(e2)e4e 4a2e4(2ae2)(2ae2), 当 2ae2时,f(e2)0,而且 f()2a2 ea2
2、e0,f(1)10),由 f(x)0,得 xe. xe x2 当 x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(e,)上单调递增, 当 xe 时,f(x)取得极小值 f(e)ln e 2, e e f(x)的极小值为 2. (2)由题设 g(x)f(x) (x0), x 3 1 x m x2 x 3 令 g(x)0,得 m x3x(x0) 1 3 设 (x) x3x(x0), 1 3 则 (x)x21(x1)(x1), 当 x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 x(1,)时,(x) 时,函数 g(x)无零点; 2 3 当 m 时,函
3、数 g(x)有且只有一个零点; 2 3 当 0 时,函数 g(x)无零点; 2 3 当 m 或 m0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 2 3 当 00, a x x2a x 当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)的增区间为(0,); 当 a0 时,f(x), x ax a x 令 f(x)0, 因为 x0,所以 x0,所以 x,aa 所以函数 f(x)的单调增区间为(,)a 综上,当 a0 时,f(x)的单调增区间为(0,); 当 a0 时,f(x)的单调增区间为(,)a (2)由(1)知,若 a0,f(x)在(0,)上为增函数,函数 f(x)至多有一个零点,不合题意 若 a0,当 x
4、(0,)时,f(x)0,f(x)在(,)上为增函数,aa 所以 f(x)minf() a aln a a(1ln a)a 1 2 1 2 1 2 要使 f(x)有两个零点,则 f(x)min a(1ln a)e. 下面证明: 当 ae 时,函数 f(x)有两个零点 因为 ae,所以 1(0,),而 f(1) 0,a 1 2 所以 f(x)在(0,)上存在唯一零点a 方法一 又 f(a) ea2a a(ea12ln a),e 1 2 ( 1 2ln a) 1 2 令 h(a)ea12ln a,ae,h(a)e 0, 2 a 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 h(a)在(e,)上单
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