2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第三章 导数及其应用 3.2 第2课时 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 课时 导数与函数的极值、最值课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数求解函数极值问题 命题点 1 根据函数图象判断极值 例 1 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f(x),且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是_(填序号) 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1); 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1); 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2); 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 答案 解析 由题图可知,当 x0; 当22 时,f(x)0. 由
2、此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值, 在 x2 处取得极小值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 命题点 2 求已知函数的极值 例 2 设函数 f(x)ln(x1)a(x2x),其中 aR.讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由 解 f(x)a(2x1) 1 x1 (x1) 2ax2axa1 x1 令 g(x)2ax2axa1,x(1,) 当 a0 时,g(x)1, 此时 f(x)0,函数 f(x)在(1,)上单调递增,无极值点 当 a0 时,a28a(1a)a(9a8) a当 0 时,0, 8 9 设方程 2ax2axa10 的两根为 x1,x2(x1 . 1 2 1
3、 4 1 4 由 g(1)10,可得10,f(x)0,函数 f(x)单调递增; 当 x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递增 因此函数 f(x)有两个极值点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 a0,由 g(1)10, 可得 x10,f(x)0,函数 f(x)单调递增; 当 x(x2,)时,g(x) 时,函数 f(x)有两个极值点 8 9 命题点 3 根据极值(点)求参数 例 3 已知函数 f(x) k,若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点,则实数 k 的取值 ex x2 ( 2 xln x) 范围为_ 答案 (,e 解析 因为函数 f(x) k,
4、ex x2 ( 2 xln x) 所以函数 f(x)的定义域是(0,), 所以 f(x)k. exx22xex x4 ( 2 x2 1 x) ( ex x k)x2 x2 因为 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点, 所以 x2 是 yf(x)的唯一变号零点 所以 y k 在(0,)上无变号零点, ex x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 g(x) k,则 g(x). ex x x1ex x2 当 x(0,1)时,g(x)0, 所以 g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增, 所以 g(x)ming(1)ek, 若 g(x)在(0,)上无变号零点, 则需要 g(x
5、)0 在(0,)上恒成立, 所以 g(x)min0,即 ek0,即 ke, 所以若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点, 则应需 ke. 思维升华 函数极值的两类热点问题 (1)求函数 f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域;求导数 f(x);解方程 f(x)0,求出函数定义域内的所有根; 列表检验 f(x)在 f(x)0 的根 x0左右两侧值的符号 (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式:根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解 验证:求解后验证根的合理性 跟踪训练 1 已知函数 f(x)ax1ln x(aR) (1)讨论函数 f(x)在定义域内的
6、极值点的个数; (2)若函数 f(x)在 x1 处取得极值, x(0, ), f(x)bx2 恒成立, 求实数 b 的取值范围 解 (1)f(x)的定义域为(0,) f(x)a , 1 x ax1 x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 a0 时,f(x)0 时,由 f(x)0,得 x , 1 a f(x)在上单调递减,在上单调递增,即 f(x)在 x 处有极小值,无极大值 (0, 1 a) ( 1 a,) 1 a 当 a0 时,f(x)在(0,)上没有极值点,当 a0 时,f(x)在(0,)上有一个极值点 (2)函数 f(x)在 x1 处取得极值, a1,f(x)bx2,即 1
7、b, 1 x ln x x 令 g(x)1 , 则 g(x), 令 g(x)0, 得 xe2, 则 g(x)在(0, e2)上单调递减, 1 x ln x x ln x2 x2 在(e2,)上单调递增, g(x)ming(e2)1 ,即 b1 , 1 e2 1 e2 即实数 b 的取值范围为. (,1 1 e2 题型二 用导数求函数的最值 例 4 已知函数 f(x)kln x,k0,由 ke,则 x ,即 k0,x(0,)时,f(x)0, 即 f(x)在(0,)上单调递增,没有最小值; 当 a0 得,x , a 2 所以 f(x)在上单调递增; ( a 2,) 由 f(x)0)的导函数 yf(
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