2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第九章 平面解析几何 9.5 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.5 圆与圆的位置关系及圆的应用 圆与圆的位置关系及圆的应用 考情考向分析 考查圆与圆的位置关系的判断, 两圆的公共弦和圆的实际应用问题, 题型以 填空题为主,有时可能出现解答题 圆与圆的位置关系 设圆 O1:(xa1)2(yb1)2r (r10), 2 1 圆 O2:(xa2)2(yb2)2r (r20). 2 2 方法 位置关系 几何法 : 圆心距 d 与 r1, r2的关系 代数法:联立两圆方程 组成方程组的解的情况 外离dr1r2无解 外切dr1r2一组实数解 相交|r1r2|0), 点 N 为圆 M 上任意一点若以 N 为圆心、ON 为半
2、径的圆与圆 M 至多有一个公共点,则 a 的最小值为_ 答案 3 解析 由题意,得圆 N 与圆 M 内切或内含, 即 MNON1ON2, 又 ON 的最小值为 OM1, 所以 OM3,3a3 或 a0,a2a32 因此 a 的最小值为 3. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 思维升华 判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤为 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长 (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求 r1r2,|r1r2|. (3)比较 d,r1r2,|r1r2|的大小,写出结论 跟踪训练1 (1)圆x2y24x4y70与圆x2y24x10y130的公切线有_条 答案
3、 4 解析 两圆的标准方程分别为(x2)2(y2)21,(x2)2(y5)216. 两圆圆心分别为(2,2),(2,5) 两圆的圆心距 d,半径分别为 r11,r24,则 dr1r2,即两圆22225265 外离,因此它们有 4 条公切线 (2)已知圆M: x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2, 则圆M与圆N: (x2 1)2(y1)21 的位置关系是_ 答案 相交 解析 圆 M:x2(ya)2a2(a0), 圆心坐标为 M(0,a),半径 r1为 a, 圆心 M 到直线 xy0 的距离 d, |a| 2 由几何知识得 2( )2a2,解得 a2.M(0,2),r12. (
4、|a| 2) 2 又圆 N 的圆心为 N(1,1),半径 r21, MN,1021222 r1r23,r1r21. r1r20), 因为直线 PF 与圆 C 相切,所以25, |2550k| 1k2 解得 k (k0 舍去) 4 3 所以直线 PF 的方程为 y (x50),即 4x3y2000. 4 3 (2)以 PG 所在直线为 x 轴,G 为坐标原点建立直角坐标系, 设直线 PF 的方程为 yk(x50)(k0),圆 C 的方程为 x2(yr)2r2(r0) 由已知得直线 PE 的倾斜角为 . 4 因为 tanAPFtan(GPFGPA), k1 1k 31 49 高清试卷 下载可打印
5、高清试卷 下载可打印 所以 k, 40 9 所以直线 PF 的方程为 y(x50), 40 9 即 40x9y2 0000. 因为直线 PF 与圆 C 相切,所以r, |9r2 000| 1 60081 解得 r40 或62.5(舍) 故该圆形标志物的半径为 40 m. 思维升华 (1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和 r1r2的关系 (2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系, 利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决 跟踪训练 3 (2014江苏)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形 保护区规
6、划要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直,保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m经测量,点 A 位于 点 O 正北方向 60 m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处(OC 为河岸),tanBCO . 4 3 (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 解 (1)如图,过点 B 作 BEOC 于点 E,过点 A 作 AFBE 于点 F. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ABC90,BEC90, ABFBCE, tanABFtanBCO . 4 3 设 A
7、F4x(m),则 BF3x(m), AOEAFEOEF90, OEAF4x(m),EFAO60(m), BE(3x60)m. tanBCO , 4 3 CE BE(m), 3 4 ( 9 4x45) OC(m), (4x 9 4x45) 4x x45170,解得 x20. 9 4 BE120 m,CE90 m. 综上所述,BC150 m. (2)如图,设 BC 与M 切于点 Q,延长 QM,CO 交于点 P, POMPQC90. PMOBCO. 设 OMx m,则 OP x m, 4 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 PM x m. 5 3 PCm,PQm. ( 4 3x170)
8、 ( 16 15x136) 设M 的半径为 R, RMQm, ( 16 15x136 5 3x) (136 3 5x) A,O 到M 上任一点的距离不少于 80 m, 则Error! 即Error! 解得 10x35. 当且仅当 x10 时 R 取到最大值 当 OM10 m 时,保护区面积最大, 综上所述,当 OM10 m 时,保护区面积最大 高考中与圆交汇问题的求解 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有关的最 值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数 的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化;直线与
9、圆的综合 问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质 一、与圆有关的最值问题 例 1 (1)已知点 A, B, C 在圆 x2y21 上运动, 且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0), 则|PA PB 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |的最大值为_PC (2)过点(,0)引直线 l 与曲线 y相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当AOB 的面21x2 积取最大值时,直线 l 的斜率为_ 答案 (1)7 (2) 3 3 解析 (1)A, B, C 在圆 x2y21 上, 且 ABBC, AC 为圆的直径, 故2(PA PC PO 4,0),设
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