2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第九章 平面解析几何 9.3 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.3 圆的方程 圆的方程 考情考向分析 以考查圆的方程为主,与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点,属 中档题题型主要以填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,在解答题中也会出现 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 圆心为(a,b) 标准式(xa)2(yb)2r2(r0) 半径为 r 充要条件:D2E24F0 圆心坐标:(D 2, E 2) 方 程 一般式x2y2DxEyF0 半径 r1 2 D2E24F 概念方法微思考 1如何确定圆的方程?其步骤是怎样的? 提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤: (1
2、)根据题意,选择标准方程或一般方程 (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组 (3)解出 a,b,r 或 D,E,F 代入标准方程或一般方程 2点与圆的位置关系有几种?如何判断? 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 提示 点和圆的位置关系有三种 已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2,点 M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0a)2(y0b)2r2; (2)点在圆外:(x0a)2(y0b)2r2; (3)点在圆内:(x0a)2(y0b)20.( ) (4)方程 x22axy20 一定表示圆( ) (5)若点 M(x0,y0)在圆 x2y2DxEyF0 外,则 x
3、 y Dx0Ey0F0.( ) 2 02 0 题组二 教材改编 2P111 练习 T4圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是_ 答案 (2,3) 解析 由(x2)2(y3)213,知圆心坐标为(2,3) 3P111 习题 T1(3)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的标准方程 为_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 (x2)2y210 解析 设圆心坐标为(a,0), 易知,a5212a1232 解得 a2, 圆心为(2,0),半径为,10 圆 C 的标准方程为(x2)2y210. 题组三 易错自纠 4若方程 x2y2mx2y30 表示圆
4、,则 m 的取值范围是_ 答案 (,2)(2,)22 解析 将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得 2(y1)2 2. (x m 2) m2 4 由其表示圆可得20,解得 m2. m2 4 22 5若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部,则实数 a 的取值范围是_ 答案 10), 又圆与直线 4x3y0 相切, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1,解得 a2 或 a (舍去) |4a3| 5 1 2 圆的标准方程为(x2)2(y1)21. 题型一 圆的方程 例 1 求经过点 A(2,4),且与直线 l:x3y260 相切于点 B(8,6)的圆的方程 解 方法一 设圆
5、心为 C, 所求圆的方程为 x2y2DxEyF0, 则圆心 C,kCB. ( D 2, E 2) 6E 2 8D 2 圆 C 与直线 l 相切,kCBkl1, 即1. 6E 2 8D 2 ( 1 3) 又有(2)2(4)22D4EF0, 又 82628D6EF0. 联立,可得 D11,E3,F30, 所求圆的方程为 x2y211x3y300. 方法二 设圆的圆心为 C,则 CBl, 可得 CB 所在直线的方程为 y63(x8), 即 3xy180. 由 A(2,4),B(8,6),得 AB 的中点坐标为(3,1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 kAB1, 64 82 AB 的
6、垂直平分线的方程为 y1(x3), 即 xy40. 由联立,解得Error!Error! 即圆心坐标为. ( 11 2 ,3 2) 所求圆的半径 r , ( 11 2 8)2(3 26) 2 125 2 所求圆的方程为 22 . (x 11 2) (y 3 2) 125 2 思维升华 (1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程 (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,求出 a,b,r 的值; 选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D,E,F 的方程组,进而求出 D,E,F 的值 跟踪训练 1 (1)(2018如皋模拟)已知圆 C 过点(2,),且与
7、直线 xy30 相切于点(0,33 ),则圆 C 的方程为_3 答案 (x1)2y24 解析 设圆心为(a,b),半径为 r, 则Error!Error! 解得 a1,b0,则 r2, 即所求圆的方程为(x1)2y24. (2)一个圆与 y 轴相切,圆心在直线 x3y0 上,且在直线 yx 上截得的弦长为 2,则该7 圆的方程为_ 答案 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10 解析 方法一 所求圆的圆心在直线 x3y0 上, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设所求圆的圆心为(3a,a), 又所求圆与 y 轴相切,半径 r3|a|, 又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2,
8、圆心(3a,a)到直线 yx 的距离 d,7 |2a| 2 d2()2r2,即 2a279a2,a1.7 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29, 即x2y26x2y10或x2 y26x2y10. 方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2, 则圆心(a,b)到直线 yx 的距离为, |ab| 2 r27,即 2r2(ab)214. ab2 2 由于所求圆与 y 轴相切,r2a2, 又所求圆的圆心在直线 x3y0 上,a3b0, 联立,解得Error!Error!或Error!Error! 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29, 即 x
9、2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 方法三 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0,则圆心坐标为, ( D 2, E 2) 半径 r. 1 2 D2E24F 在圆的方程中,令 x0,得 y2EyF0. 由于所求圆与 y 轴相切,0,则 E24F. 圆心到直线 yx 的距离为 ( D 2, E 2) d, | D 2 E 2| 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由已知得 d2()2r2,7 即(DE)2562(D2E24F) 又圆心在直线 x3y0 上, ( D 2, E 2) D3E0. 联立,解得Error!Error!或Error!Error! 故所求圆的方程为
10、x2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 题型二 与圆有关的最值问题 例 2 已知点(x,y)在圆(x2)2(y3)21 上,求 xy 的最大值和最小值 解 设 txy,则 yxt,t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距, xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在 y 轴上的截距的最大值和最小值, 即直线与圆相切时在 y 轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即1,解得 t1 或 t1. |23t| 2 22 xy 的最大值为1,最小值为1.22 引申探究 1在本例的条件下,求 的最大值和最小值 y x 解 可视为点(x, y)与原点连线的斜率, 的最大
11、值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的 y x y x 直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为 ykx, 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即1, |2k3| k21 解得 k2或 k2, 的最大值为2,最小值为2. 23 3 23 3 y x 23 3 23 3 2在本例的条件下,求的最大值和最小值x2y22x4y5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 ,求它的最值可视为求点(x,y)到定点(1,2)x2y22x4y5x12y22 的距离的最值,可转化为求圆心(2,3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定 点(1,2)的距离为
12、,34 的最大值为1,最小值为1.x2y22x4y53434 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几 何性质数形结合求解 (2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法 形如 u型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题; yb xa 形如 taxby 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如(xa)2(yb)2 型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离的平方的最值问题 跟踪训练 2 已知实数 x,y 满足方程 x2y24x10. 求:(1)
13、的最大值和最小值; y x (2)yx 的最大值和最小值; (3)x2y2的最大值和最小值 解 原方程可化为(x2)2y23, 表示以(2,0)为圆心,为半径的圆3 (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 k,即 ykx. y x y x 当直线 ykx 与圆相切时(如图),斜率 k 取最大值和最小值,此时,解得 k. |2k0| k21 33 所以 的最大值为,最小值为. y x 33 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距,如图所示, 当直线 yxb 与圆相切时, 其在 y 轴上的截距 b 取得最大值和最小值, 此时,
14、 |20b| 2 3 解得 b2.所以 yx 的最大值为2,最小值为2.666 (3)如图所示,x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心 连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2,202002 所以 x2y2的最大值是(2)274,33 x2y2的最小值是(2)274.33 题型三 与圆有关的轨迹问题 例 3 已知 RtABC 的斜边为 AB,且 A(1,0),B(3,0)求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程; (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解 (1)方法一 设 C(x,y),因为 A,B,C 三点不共线,所以 y0. 因为 A
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