2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第九章 平面解析几何 9.7 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.7 双曲线 双曲线 考情考向分析 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数 a,b,c 及与渐近 线有关的问题,其中离心率和渐近线是重点以填空题的形式考查,难度为中低档解题时 应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法,能灵活应用双曲线的几何性质 1双曲线的定义 平面内到两个定点 F1, F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双 曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程1(a0,b0) x2 a2 y2 b2 1(a0,b0) y2 a2 x2 b2
2、 图形 范围xa 或 xa,yRxR,ya 或 ya 对称性 对称轴:x 轴,y 轴 对称中心:(0,0) 对称轴:x 轴,y 轴 对称中心:(0,0) 顶点 顶点坐标: A1(a,0),A2(a,0) 顶点坐标: A1(0,a),A2(0,a) 性 质 渐近线y x b a y x a b 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 离心率e ,e(1,) c a 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴,它的长 A1A22a; 线段 B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长 B1B22b; a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系c2a2b2(ca0,cb0) 3.等轴
3、双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为 x2y2(0),离心率 e,渐近2 线方程为 yx. 4双曲线的第二定义 平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离的比是常数 e(e1)的 点的轨迹是双曲线 定点 F 是焦点, 定直线 l 是准线, 常数 e 是离心率 双曲线1(a0, x2 a2 y2 b2 b0)的准线方程为 x,双曲线1(a0,b0)的准线方程为 y. a2 c y2 a2 x2 b2 a2 c 概念方法微思考 1平面内与两定点 F1,F2的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗? 为什么? 提示 当
4、2aF1F2时,动点的轨迹是两条射线; 当 2aF1F2时,动点的轨迹不存在; 当 2a0 时,动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线 2方程 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是什么? 提示 若 A0,B0,表示焦点在 y 轴上的双曲 线所以 Ax2By21 表示双曲线的充要条件是 AB0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) x2 m y2 n (3)双曲线方程(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即 0.( ) x2 m2 y2 n2 x2 m2 y2 n2 x m y n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( )2 (5)若双曲线1(a0,b0)与1(a0,b0)的离心率分别是
5、e1,e2,则 x2 a2 y2 b2 x2 b2 y2 a2 1 e2 1 1 e2 2 1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 题组二 教材改编 2P48T15若双曲线1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线 x2 a2 y2 b2 的离心率为_ 答案 5 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长, 双曲线的渐近线方程为 0, 即 bxay x a y b 0, 2ab.又 a2b2c2,5a2c2. bc a2b2 e25,e. c2 a2 5 3P58T7若双曲线 1 左支上的一点 P 到左焦点的距离为 15,则点 P 到右准线的距 x2 9 y2 16
6、离为_ 答案 63 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 a3,b4,c5,e . 5 3 PF115,PF2PF12a15621, 点 P 到右准线的距离 d. PF2 e 63 5 4P48A 组 T7经过点 A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案 1 x2 15 y2 15 解析 设双曲线的方程为1(a0), x2 a2 y2 a2 把点 A(4,1)代入,得 a215(舍负), 故所求方程为1. x2 15 y2 15 题组三 易错自纠 5已知方程1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值 x2 m2n y2 3m2n 范围是_
7、 答案 (1,3) 解析 方程1 表示双曲线, x2 m2n y2 3m2n (m2n)(3m2n)0,解得m20,b0)的一条渐近线经过点(3,4),则此双曲线的离心率为 x2 a2 y2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 _ 答案 5 3 解析 由条件知 y x 过点(3,4),4, b a 3b a 即 3b4a,9b216a2,9c29a216a2, 25a29c2,e . 5 3 7(2018南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 x2 1 的一条渐近线与准线的交点 y2 4 到另一条渐近线的距离为_ 答案 4 5 解析 由题意,双曲线的一条渐近线 y2x 与
8、右准线 x的交点为,其到另一 5 5 ( 5 5 ,2 5 5 ) 条渐近线 y2x 的距离为 . 4 5 题型一 双曲线的定义 例 1 (1)已知定点 F1(2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2y21 上任意一点,点 F1关于点 N 的对 称点为 M,线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P,则点 P 的轨迹是_ 答案 双曲线 解析 如图,连结 ON,PF1, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由题意可得 ON1,且 N 为 MF1的中点,又 O 为 F1F2的中点,MF22. 点 F1关于点 N 的对称点为 M,线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P
9、,由垂直平分线 的性质可得 PMPF1,|PF2PF1|PF2PM|MF220,b0) x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 由题意知,2b12,e , c a 5 4 b6,c10,a8. 双曲线的标准方程为1 或1. x2 64 y2 36 y2 64 x2 36 双曲线经过点 M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a12. 又 2c26,c13,b2c2a225. 双曲线的标准方程为1. y2 144 x2 25 设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) Error!Error!解得Error!Error! 双曲线的标准方程为1. y2 25
10、 x2 75 思维升华 求双曲线标准方程的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 当双曲线焦点位置不确定时,设为 Ax2By21(AB0,b0)的一条渐近线方程为 yx,且与椭圆 1 有 x2 a2 y2 b2 5 2 x2 12 y2 3 公共焦点,则 C 的方程为_ 答案 1 x2 4 y2 5 解析 由 yx,可得 . 5 2 b a 5 2 由椭圆 1 的焦点为(3,0),(3,0), x2 12 y2 3 可得 a2b29. 由可得 a24,b25. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 C 的方程为 1. x2 4 y2 5 题型三 双曲线的几何性质 命题点 1 与渐近线
11、有关的问题 例 3 过双曲线1(a0, b0)的左焦点 F 作圆 O: x2y2a2的两条切线, 切点为 A, B, x2 a2 y2 b2 双曲线左顶点为 C,若ACB120,则双曲线的渐近线方程为_ 答案 yx3 解析 如图所示, 连结 OA, OB, 设双曲线1(a0, b0)的焦距为 2c(c0), 则 C(a,0), x2 a2 y2 b2 F(c,0) 由双曲线和圆的对称性知, 点 A 与点 B 关于 x 轴对称, 则ACOBCO ACB 120 1 2 1 2 60. 因为 OAOCa,所以ACO 为等边三角形, 所以AOC60. 因为 FA 与圆 O 切于点 A,所以 OAFA
12、, 在 RtAOF 中,AFO90AOF906030,所以 OF2OA,即 c2a, 所以 ba,c2a22a2a23 故双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为 y x,即 yx. x2 a2 y2 b2 b a 3 命题点 2 求离心率的值(或范围) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 4 已知双曲线 C:1(a0, b0)的左、 右焦点分别为 F1(c,0), F2(c,0), A, B 是圆(x x2 a2 y2 b2 c)2y24c2与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1AF2B,则双曲线的离心率为_ 答案 3 17 4 解析 由双曲线定义及题意得 AF22a2c,BF
13、22c2a, 因为 F1AF2B, 所以F2F1AF1F2B180, 所以 cosF2F1AcosF1F2B, 则4c 24c22a2c2 2 2c 2c , 4c22c2a24c2 2 2c 2c2a 化简得 2e23e10, 因为 e1,所以 e. 317 4 思维升华 1.求双曲线的渐近线的方法 求双曲线 1(a0, b0)或 1(a0, b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0, x2 a2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 即令 0,得 y x; 或令 0,得 y x.反之,已知渐近线方程为 y x,可设 x2 a2 y2 b2 b a y2 a2 x2 b2 a b b a
14、双曲线方程为 (a0,b0,0) x2 a2 y2 b2 2求双曲线的离心率 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 求 a,b,c 的值,由1直接求 e. c2 a2 a2b2 a2 b2 a2 列出含有 a,b,c 的齐次方程(或不等式),借助于 b2c2a2消去 b,然后转化成关于 e 的 方程(或不等式)求解 (2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系:k . b a c2a2 a c2 a21 e21 跟踪训练 3 已知点 F1,F2是双曲线 C:1(a0,b0)的左、右焦点,O 为坐标原点, x2 a2 y2 b2 点 P 在双曲
15、线 C 的右支上,且满足 F1F22OP,PF13PF2,则双曲线 C 的离心率的取值范 围是_ 答案 (1, 10 2 解析 由 F1F22OP, 可得 OPc, 故PF1F2为直角三角形, 且 PF1PF2, 则 PF PF F1F 2 12 2 . 2 2 由双曲线的定义可得 PF1PF22a,则 PF12aPF2,所以(PF22a)2PF 4c2, 2 2 整理得(PF2a)22c2a2. 又 PF13PF2,即 2aPF23PF2,可得 PF2a, 所以 PF2a2a,即 2c2a24a2,可得 ca. 10 2 由 e ,且 e1,可得 1b0)的右焦点为 F, 短轴的一个端点为
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