2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第九章 平面解析几何 9.6 第2课时 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 2 课时 直线与椭圆课时 直线与椭圆 题型一 直线与椭圆的位置关系 例 1 (2019徐州模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:1(ab0)的左、右焦 x2 a2 y2 b2 点分别为 F1,F2,点 P(3,1)在椭圆上,PF1F2的面积为 2 . 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 yxk 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,求实数 k 的值 解 (1)由条件可知1, 9 a2 1 b2 2c1c2, 1 2 PF F S 1 2 2 又 a2b2c2,所以 a212,b24, 所
2、以椭圆的标准方程为 1. x2 12 y2 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由Error!得 4x26kx3k2120, 解得 x1,2, 6k 36k2163k2 12 8 则 x1x2,x1x2, 3k 2 3k212 4 y1y2(x1k)(x2k). k212 4 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则x1x2y1y2k260,OA OB 解得 k,此时 1200,满足条件6 因此 k . 6 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个
3、数 (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 跟踪训练 1 (1)若直线 ykx1 与椭圆 1 总有公共点,则 m 的取值范围是_ x2 5 y2 m 答案 1,5)(5,) 解析 方法一 由于直线 ykx1 恒过点(0,1), 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上, 则 00 且 m5,m1 且 m5. (2)(2018江苏十校联考)已知椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率 x2 a2 y2 b2 为 e.直线 l: yexa 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点, 高清试卷 下载可打印
4、高清试卷 下载可打印 设e,则该椭圆的离心率 e 为_AM AB 答案 51 2 解析 因为点 A,B 分别是直线 l: yexa 与 x 轴、y 轴的交点,所以点 A,B 的坐标分别是 ,(0,a) ( a e,0) Error!由 e 化简得,x22cxc20, c a 解得 M(c,aec),由e得,AM AB e, (c a e,aec) ( a e,a) 即 aecea,即 e2e10, 解得 e或 e(舍去) 51 2 51 2 题型二 弦长及中点弦问题 命题点 1 弦长问题 例 2 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A,B 两点,则 AB 的最大值为_ x2 4 答
5、案 4 10 5 解析 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线 l 的方程为 yxt, 由Error!消去 y,得 5x28tx4(t21)0, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 x1,2, 4t 2 5t2 5 AB|x1x2|,1k2 4 2 5 5t2 当 t0 时,ABmax. 4 10 5 命题点 2 中点弦问题 例 3 已知 P(1,1)为椭圆 1 内一定点,经过 P 引一条弦,使此弦被 P 点平分,则此弦 x2 4 y2 2 所在的直线方程为_ 答案 x2y30 解析 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k,弦所在的直线与椭圆相交于
6、 A,B 两 点, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 1, x2 1 4 y2 1 2 1, x2 2 4 y2 2 2 得0, x 1x2 x 1x2 4 y 1y2 y 1y2 2 x1x22,y1y22, y1y20,k . x1x2 2 y1y2 x1x2 1 2 此弦所在的直线方程为 y1 (x1), 1 2 即 x2y30. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方 程联立,求出两根,结合已知条件,解决相关问题涉及中点弦的问题时用“点差法”解决, 往往会更简单 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设直线与椭圆的交
7、点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB|x1x2|y1y2|(k1k21 1 k2 为直线斜率) (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式 跟踪训练 2 (1)已知椭圆 1 以及椭圆内一点 P(4,2),则以 P 为中点的弦所在直线的斜 x2 36 y2 9 率为_ 答案 1 2 解析 设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x28,y1y24,Error! 两式相减,得 0, x 1x2 x 1x2 36 y 1y2 y 1y2 9 所以, 2x1x2 9 4y1y2 9 所以 k . y1y2 x1x2 1 2 经检
8、验,k 满足题意 1 2 (2)已知 F1(1,0), F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点, 过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点,且 AB3,则椭圆 C 的方程为_ 答案 1 x2 4 y2 3 解析 设椭圆 C 的方程为1(ab0), 则 c1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 x2 a2 y2 b2 于 A,B 两点,且 AB3,所以 ,b2a2c2,所以 a24,b2a2c2413,即椭 b2 a 3 2 圆 C 的方程为 1. x2 4 y2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型三 椭圆与向量等知识的综合 例 4 已知椭圆 C:1
9、(ab0),e ,其中 F 是椭圆的右焦点,焦距为 2,直线 l 与椭 x2 a2 y2 b2 1 2 圆 C 交于点 A,B,线段 AB 的中点横坐标为 ,且(其中 1) 1 4 AF FB (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求实数 的值 解 (1)由椭圆的焦距为 2,知 c1,又 e ,a2, 1 2 故 b2a2c23, 椭圆 C 的标准方程为 1. x2 4 y2 3 (2)由,可知 A,B,F 三点共线,AF FB 设点 A(x1,y1),B(x2,y2) 若直线 ABx 轴,则 x1x21,不符合题意; 当 AB 所在直线 l 的斜率存在时, 设 l 的方程为 yk(x1) 由
10、Error!消去 y 得 (34k2)x28k2x4k2120.(*) (*)的判别式 64k44(4k23)(4k212)144(k21)0. x1,2, 8k2 144k2 1 24k2 3 4k2 6 k21 4k23 x1x22 ,k2 . 8k2 4k23 1 4 1 2 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 x1,2. 1 3 5 4 又(1x1,y1),(x21,y2),AF FB AF FB 即 1x1(x21),又 1,. 1x1 x21 3 5 2 思维升华 一般地,在椭圆与向量等知识的综合问题中,平面向量只起“背景”或“结论”的 作用,几乎都不会在向量的知识
11、上设置障碍,所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法 和基本思想 跟踪训练 3 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(1,0), F2(1, 0), 短轴的两个端点分别为 B1, B2. (1)若F1B1B2为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2,过点 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,且,求F1P F1Q 直线 l 的方程 解 (1)F1B1B2为等边三角形, 则Error!Error!Error! 椭圆 C 的方程为3y21. 3x2 4 (2)易知椭圆 C 的方程为 y21, x2 2 当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x1,不符合题意;
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