2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第九章 高考专题突破五 第3课时 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 3 课时 证明与探索性问题课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例 1 设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C: y21 上, 过 M 作 x 轴的垂线, 垂足为 N, 点 P x2 2 满足.NP 2NM (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x3 上,且1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦OP PQ 点 F. (1)解 设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0), (xx0,y),(0,y0)NP NM 由 得 x0x,y0y.NP 2 NM 2 2 因为 M(x0,y0)在 C
2、 上, 所以 1. x2 2 y2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22. (2)证明 由题意知 F(1,0) 设 Q(3,t),P(m,n),则(3,t),OQ (1m,n),33mtn,PF OQ PF (m,n),(3m,tn)OP PQ 由1,得3mm2tnn21.OP PQ 又由(1)知 m2n22, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 33mtn0. 所以0,即.OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ, 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、 点在定直线上等, 有时也涉及
3、一些否定性 命题,证明方法一般是采用直接法或反证法 跟踪训练 1 已知椭圆 T:1(ab0)的一个顶点 A(0,1), 离心率 e, 圆 C: x2y24, x2 a2 y2 b2 6 3 从圆 C 上任意一点 P 向椭圆 T 引两条切线 PM,PN. (1)求椭圆 T 的方程; (2)求证:PMPN. (1)解 由题意可知 b1, ,即 2a23c2, c a 6 3 又 a2b2c2,联立解得 a23,b21. 椭圆方程为 y21. x2 3 (2)证明 当 P 点横坐标为时,纵坐标为1,PM 斜率不存在,PN 斜率为 0,PMPN.3 当 P 点横坐标不为时,设 P(x0,y0),3 则
4、 x y 4,设 kPMk, 0202 PM 的方程为 yy0k(xx0), 联立方程组Error! 消去 y 得(13k2)x26k(y0kx0)x3k2x 6kx0y03y 30, 2 02 0 依题意 36k2(y0kx0)24(13k2)(3k2x 6kx0y03y 3)0, 2 02 0 化简得(3x )k22x0y0k1y 0, 022 0 又 kPM,kPN为方程的两根, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 kPM,PN, 2x0y0 4x2 0y2 043x2 0 1y2 0 23x2 0 所以 kPMkPN1. 1y2 0 3x2 0 14x2 0 3x2 0
5、x2 03 3x2 0 所以 PMPN. 综上知 PMPN. 题型二 探索性问题 例 2 (2018苏北三市模拟)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 1 的左、右 x2 4 y2 3 顶点分别为 A,B,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点(点 P 在 x 轴上方) (1)若 QF2FP,求直线 l 的方程; (2)设直线 AP,BQ 的斜率分别为 k1,k2.是否存在常数 ,使得 k1k2?若存在,求出 的值 ; 若不存在,请说明理由 解 (1)因为 a24,b23,所以 c1,a2b2 所以 F 的坐标为(1,0) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2)
6、,直线 l 的方程为 xmy1, 代入椭圆方程,得(43m2)y26my90, 则 y1,y2. 3m6 1m2 43m2 3m6 1m2 43m2 若 QF2PF,则|3m6 1m 2 43m2 | 2, 3m6 1m2 43m2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即2, 3m6 1m2 43m2 3m6 1m2 43m2 3m66m12,1m21m2 解得 m(舍负), 2 5 5 故直线 l 的方程为x2y0.55 (2)由(1)知,y1y2,y1y2, 6m 43m2 9 43m2 所以 my1y2 (y1y2), 9m 43m2 3 2 所以 k1 k2 y1 x12 x2
7、2 y2 y1 my 2 1 y2 my 1 3 , 3 2 y 1y2 y 1 3 2 y 1y23y2 1 3 故存在常数 ,使得 k1 k2. 1 3 1 3 思维升华 解决探索性问题的注意事项 探索性问题, 先假设存在, 推证满足条件的结论, 若结论正确则存在, 若结论不正确则不存在 (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法 跟踪训练 2 (2018扬州期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2(y2)21, 且圆 C 与
8、 y 轴交于 M,N 两点(点 N 在点 M 的上方),直线 l:ykx(k0)与圆 C 交于 A,B 两 点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)若 AB,求实数 k 的值; 2 5 5 (2)设直线 AM,直线 BN 的斜率分别为 k1,k2,是否存在常数 a 使得 k1ak2恒成立?若存在, 求出 a 的值若不存在,请说明理由; (3)若直线 AM 与直线 BN 相交于点 P,求证:点 P 在一条定直线上 (1)解 圆 C:x2(y2)21, 圆心 C(0,2),半径 r1, 直线 l:kxy0(k0)与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB, 2 5 5 圆心到 l 的距
9、离为 d ,1(1 2 2 5 5) 2 2 5 ,解得 k2. 2 k21 2 5 k0,k2. (2)解 圆 C 与 y 轴交于 M,N 两点(点 N 在点 M 上方), M(0,1),N(0,3), AM:yk1x1,BN:yk2x3, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线 AM 与圆 C 方程联立得Error! 化简得(k 1)x22k1x0, 12 A,同理可求得 B, ( 2k1 k2 11, 3k2 11 k2 11) ( 2k2 k2 21, k2 23 k2 21) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 O,A,B 三点共线,且,OA ( 2k1 k2 11
10、, 3k2 11 k2 11) OB ( 2k2 k2 21, k2 23 k2 21) 0, 2k1 k2 11 k2 23 k2 21 ( 2k2 k2 21) 3k2 11 k2 11 化简得(3k1k2)(k1k21)0, k1k210,3k1k20,即 k1 k2, 1 3 存在实数 a ,使得 k1ak2恒成立 1 3 (3)证明 设 P(x0,y0), Error!且 k1k2,Error! 由(2)知 k23k1,代入得 y0 为定值 3k13k1 k13k1 3 2 点 P 在定直线 y 上 3 2 1(2018苏州期末)已知椭圆 C:1(ab0)的离心率为,且过点 P(2,
11、1) x2 a2 y2 b2 3 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 在椭圆 C 上, 且 PQ 与 x 轴平行, 过 P 点作两条直线分别交椭圆 C 于两点 A(x1, y1), B(x2,y2),若直线 PQ 平分APB,求证:直线 AB 的斜率是定值,并求出这个定值 解 (1)因为椭圆 C 的离心率为 , c a 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 ,即 a24b2, a2b2 a2 3 4 所以椭圆 C 的方程可化为 x24y24b2, 又椭圆 C 过点 P(2,1),所以 444b2, 解得 b22,a28, 所以所求椭圆 C 的标准方程为 1. x
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