2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第二章 函数 2.4 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.4 幂函数与二次函数 幂函数与二次函数 考情考向分析 以幂函数的图象与性质的应用为主,常与指数函数、对数函数交汇命题; 以二次函数的图象与性质的应用为主,常与方程、不等式等知识交汇命题,着重考查函数与 方程、转化与化归及数形结合思想,题型一般为填空题,中档难度 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 yx的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, 是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数yxyx2yx3 1 2 yx= yx1 图象 定义域RRRx|x0x|x0 值域Ry|y0Ry|y0y|y0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇
2、函数 单调性 在 R 上单 调递增 在(, 0上 单调递减;在 (0, )上单 调递增 在 R 上单 调递增 在0, )上单 调递增 在(, 0)和 (0, )上单 调递减 性 质 公共点(1,1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 且 0. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)二次函数 yax2bxc(a0),xa,b的最值一定是.( ) 4acb2 4a (2)在 yax2bxc(a0)中,a 决定了图象的开口方
3、向和在同一直角坐标系中的开口大小( ) (3)函数是幂函数( ) 1 2 2yx= (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点( ) (5)当 n1, 3 2 函数 y2x26x3 在1,1上单调递减, ymin2631. 6设二次函数 f(x)x2xa(a0),若 f(m)”“ 解析 f(x)x2xa 图象的对称轴为直线 x , 且 f(1)0, f(0)0, 而 f(m)0. 题型一 幂函数的图象和性质 1已知幂函数(nZ)的图象关于 y 轴对称,且在(0,)上是减( ) 2 23 (22) nn f xnnx 函数,则 n 的值为_ 答案 1 解析 由于 f(x)为幂函数,所以
4、 n22n21,解得 n1 或 n3,经检验只有 n1 符合 题意 2若四个幂函数 yxa,yxb,yxc,yxd在同一坐标系中的图象如图所示,则 a,b,c,d 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 的大小关系是_(用“”连接) 答案 abcd 解析 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近 x 轴,由题图知 abcd. 3若,则实数 a 的取值范围是_ 11 33 (1)(32 )aa32a0 或 32a0. 2a 2a 所以函数的图象开口向上,且在1,2上单调递增,f(0)f(2), 则当 f(m)f(0)时,有 0m2. 命题点 2 二次函数的单调性 例
5、 3 函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1,)上是递减的,则实数 a 的取值范围是 _ 答案 3,0 解析 当 a0 时,f(x)3x1 在1,)上单调递减,满足题意 当 a0 时,f(x)的对称轴为 x, 3a 2a 由 f(x)在1,)上单调递减,知Error! 解得3a0 时,函数 f(x)在区间1,2上是增函数,最大值为 f(2)8a14,解得 a ; 3 8 (3)当 a 时,f(x)maxf(2)4a5, 1 2 1 2 (2)当a 即 a 时,f(x)maxf(1)22a, 1 2 1 2 综上,f(x)maxError! 命题点 4 二次函数中的恒成立问题 例 5 (1)
6、已知二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x, 且 f(0)1, 若不等式 f(x)2xm 在区间 1,1上恒成立,则实数 m 的取值范围为_ 答案 (,1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 设 f(x)ax2bxc(a0), 由 f(0)1, 得 c1, 又 f(x1)f(x)2x, 得 2axab2x, 所以a1, b1, 所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1,1上恒成立, 即x23x1m0 在1,1上恒成立,令 g(x)x23x1m 2 m,x1,1,g(x)在1,1上单 (x 3 2) 5 4 调递减,所以 g(x)ming(1)131m0,所以 m1)
7、, 若在区间1,1上 f(x)8 恒成立, 则 a 的最大值为_ 答案 2 解析 令 axt,因为 a1,x1,1,所以 ta,原函数化为 g(t)t23t2,t, 1 a 1 a,a 显然 g(t)在上单调递增, 所以 f(x)8 恒成立, 即 g(t)maxg(a)8 恒成立, 所以有 a23a 1 a,a 28,解得5a2,又 a1,所以 10,则实数 a 的取值范围为 _ 答案 (1 2,) 解析 由题意得 a 对 1 . ( 2 x 2 x2) 1 2 1 2 数形结合思想和分类讨论思想 在二次函数中的应用 研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对
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