2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第五章 平面向量、复数 5.2 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理及坐标表示 考情考向分析 主要考查向量的加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示, 考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综 合交汇考查,突出向量的工具性一般以填空题的形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起 考查的解答题,属于中档题 1平面向量基本定理 如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有 一对实数 1,2,使 a1e12e2. 其中,不共线的向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平
2、面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2), a(x1,y1),|a|.x2 1y2 1 (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.AB AB x 2x12y2y12 3平面向量共线的坐标表示 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 a(x1,y1),b(x2,y2),其中 a0.a,b 共线x1y2x2y10. 概念方法微思考 1若两个向量存在夹角,则向量的夹角与直线的夹角一
3、样吗?为什么? 提示 不一样因为向量有方向,而直线不考虑方向当向量的夹角为直角或锐角时,与直 线的夹角相同当向量的夹角为钝角或平角时,与直线的夹角不一样 2平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗? 提示 不一定当两个向量共线时,这两个向量就不能表示,即两向量只有不共线时,才能 作为一组基底表示平面内的任一向量 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底( ) (2)若 a,b 不共线,且 1a1b2a2b,则 12,12.( ) (3)在等边三角形 ABC 中,向量与的夹角为 60.( )AB BC (4)若 a(x1
4、,y1),b(x2,y2),则 ab 的充要条件可表示成 .( ) x1 x2 y1 y2 (5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变( ) 题组二 教材改编 2P79 练习 T6已知ABCD 的顶点 A(1,2),B(3,1),C(5,6),则顶点 D 的坐标 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 为 答案 (1,5) 解析 设 D(x,y),则由,得(4,1)(5x,6y),AB DC 即Error!解得Error! 3P82T8已知向量 a(2,3),b(1,2),若 manb 与 a2b 共线,则 . m
5、 n 答案 1 2 解析 由向量 a(2,3),b(1,2), 得 manb(2mn,3m2n),a2b(4,1) 由 manb 与 a2b 共线, 得,所以 . 2mn 4 3m2n 1 m n 1 2 题组三 易错自纠 4设 e1,e2是平面内一组基底,若 1e12e20,则 12 . 答案 0 5已知点 A(0,1),B(3,2),向量(4,3),则向量 .AC BC 答案 (7,4) 解析 根据题意得(3,1),AB (4,3)(3,1)(7,4)BC AC AB 6已知向量 a(m,4),b(3,2),且 ab,则 m . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 6 解析
6、因为 ab, 所以(2)m430,解得 m6. 题型一 平面向量基本定理的应用 例 1 如图,在OCB 中,A 是 CB 的中点,D 是将分成 21 的一个内分点,DC 和 OA 交OB 于点 E,设a,b.OA OB (1)用 a 和 b 表示向量,;OC DC (2)若,求实数 的值OE OA 解 (1)由题意知,A 是 BC 的中点, 且,由平行四边形法则,OD 2 3OB 得2,OB OC OA 所以22ab,OC OA OB (2ab) b2a b.DC OC OD 2 3 5 3 (2)由题意知,故设x.EC DC EC DC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为(2a
7、b)aEC OC OE (2)ab,2a b.DC 5 3 所以(2)abx. (2a 5 3b) 因为 a 与 b 不共线,由平面向量基本定理, 得Error!解得Error! 故 . 4 5 思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基 底表示出来 (2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平 行、相似等 (3)强化共线向量定理的应用 跟踪训练 1 在ABC 中, 点 P 是 AB 上一点, 且, Q 是 BC 的中点, AQ 与 CPCP 2 3CA 1 3CB 的交
8、点为 M,又t,则 t 的值为 CM CP 答案 3 4 解析 ,CP 2 3CA 1 3CB 32,CP CA CB 即 22,CP CA CB CP 2,AP PB 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 P 为 AB 的一个三等分点,如图所示 方法一 A,M,Q 三点共线, x(1x)CM CQ CA (x1), x 2CB AC 而,.CB AB AC CM x 2AB ( x 21)AC 又,CP CA PA AC 1 3AB 由已知t,可得CM CP t, x 2AB ( x 21)AC (AC 1 3AB ) 又,不共线,AB AC Error!解得 t . 3 4 方法
9、二 过 Q 作 PC 的平行线交 AB 于 D, Q 是 BC 中点,QD PC,且 D 是 PB 中点, 1 2 QD2PM,PC4PM,CM CP, 3 4 又t,t .CM CP 3 4 题型二 平面向量的坐标运算 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 2 (1)已知点 M(5,6)和向量 a(1,2),若3a,则点 N 的坐标为 MN 答案 (2,0) 解析 设 N(x,y),则(x5,y6)(3,6), x2,y0. (2)已知 A(2,4), B(3, 1), C(3, 4) 设a,b,c, ambnc(m, nR),AB BC CA 则 mn . 答案 2 解析 由已知
10、得 a(5,5),b(6,3),c(1,8) mbnc(6mn,3m8n), Error!解得Error! mn2. 思维升华 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求 向量的坐标 (2)解题过程中,常利用“向量相等,则坐标相同”这一结论,由此可列方程(组)进行求解 跟踪训练 2 线段 AB 的端点为 A(x,5),B(2,y),直线 AB 上的点 C(1,1),使|2|,AC BC 则 xy . 答案 2 或 6 解析 由已知得(1x,4),22(3,1y)AC BC 由|2|,可得2,AC BC AC BC 高清试卷 下载
11、可打印 高清试卷 下载可打印 则当2时,有Error!AC BC 解得Error!此时 xy2; 当2时,有Error!AC BC 解得Error!此时 xy6. 综上可知,xy2 或 6. 题型三 向量共线的坐标表示 命题点 1 利用向量共线求向量或点的坐标 例 3 已知 O 为坐标原点,点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标 为 答案 (3,3) 解析 方法一 由 O,P,B 三点共线, 可设(4,4),OP OB 则(44,4)AP OP OA 又(2,6),AC OC OA 由与共线,得(44)64(2)0,AP AC 解得 ,所以(3,3
12、), 3 4 OP 3 4OB 所以点 P 的坐标为(3,3) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 方法二 设点 P(x,y),则(x,y),OP 因为(4,4),且与共线,所以 ,OB OP OB x 4 y 4 即 xy. 又(x4,y),(2,6),且与共线,AP AC AP AC 所以(x4)6y(2)0,解得 xy3, 所以点 P 的坐标为(3,3) 命题点 2 利用向量共线求参数 例4 (2019江苏南通启东中学模拟)已知向量a, b(x,1), 其中x0, 若(a2b)(2ab), (8, x 2) 则 x . 答案 4 解析 向量 a,b(x,1), (8, x 2)
13、a2b,2ab(16x,x1), (82x, x 22) (a2b)(2ab), (82x)(x1)(16x)0, ( x 22) 即 x2400, 5 2 又x0,x4. 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1” 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可设所求向量为 a(R) 跟踪训练 3 (1)已知向量 a(1,1),点 A(3,0),点 B 为直线 y2x 上的一个动点若a,AB 则点 B 的坐标为
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