2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题:第五章 平面向量、复数 5.3 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.3 平面向量的数量积 平面向量的数量积 考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题,考查 利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一 般以填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题 1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作a,b,则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角,向量夹角OA OB 的范围是0, 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a,b 的夹角为 ,则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积),记作 ab 投影 |a|cos 叫做向量
2、a 在 b 方向上的投影, |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 拓展:向量数量积不满足: 消去律,即 abacbc; 结合律,即(ab)ca(bc) 3向量数量积的运算律 (1)abba. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)(a)b(ab)a(b)ab. (3)(ab)cacbc. 4平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2),a 与 b 的夹角为 . 结论几何表示坐标表示 模|a| aa|a| x2 1y2 1 夹角cos ab |a|
3、b| cos x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 ab 的充要条件ab0x1x2y1y20 |ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2| x2 1y2 1 x 2 2y2 2 概念方法微思考 1a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相同吗? 提示 不相同 因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos , 而 b 在 a 方向上的投影为|b|cos , 其中 为 a 与 b 的夹角 2两个向量的数量积大于 0,则夹角一定为锐角吗? 提示 不一定当夹角为 0时,数量积也大于 0. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (
4、1)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( ) (2)由 ab0 可得 a0 或 b0.( ) (3)(ab)ca(bc)( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (4)两个向量的夹角的范围是.( ) 0, 2 (5)若 ab0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 ab0,则 a 和 b 的夹角为钝角( ) 题组二 教材改编 2P90T18已知向量 a(2,1),b(1,k),a(2ab)0,则 k_. 答案 12 解析 2ab(4,2)(1,k)(5,2k), 由 a(2ab)0,得(2,1)(5,2k)0, 102k0,解得 k12. 3P89T8已知
5、两个单位向量 e1,e2的夹角为 .若向量 b1e12e2,b23e14e2,则 b1b2 3 _. 答案 6 解析 b1e12e2,b23e14e2, 则 b1b2(e12e2)(3e14e2) 3e 2e1e28e . 2 12 2 因为 e1,e2为单位向量, e1,e2 , 3 所以 b1b232 83186. 1 2 题组三 易错自纠 4已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|2,|b|1,则|a2b|_. 答案 2 3 解析 方法一 |a2b| a2b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 a24ab4b2224 2 1 cos 604 12 2.123 方法二 (数形结合
6、法) 由|a|2b|2 知,以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB,如图,则|a2b|.OC 又AOB60,所以|a2b|2 . 3 5已知|a|3,|b|2,若 ab3,则 a 与 b 的夹角的大小为_ 答案 2 3 解析 设 a 与 b 的夹角为 ,则 cos . ab |a|b| 3 3 2 1 2 又 0,所以 . 2 3 6已知ABC 的三边长均为 1,且c,a,b,则 abbcac_.AB BC CA 答案 3 2 解析 a,bb,ca,c120,|a|b|c|1, abbcac11cos 120 , 1 2 abbcac . 3 2 题型一 平面向量数量积的基
7、本运算 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1(2018全国改编)已知向量 a,b 满足|a|1,ab1,则 a(2ab)_. 答案 3 解析 a(2ab)2a2ab2|a|2ab. |a|1,ab1,原式21213. 2(2018苏北四市调研)已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 ,若|a|2,|b|3,则|2a3b| 3 _. 答案 61 解析 由题意可得 ab|a|b|cos 3, 3 所以|2a3b|.2a3b24|a|29|b|212ab16813661 3(2018江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y2x 上在第一象限内的点,B(5,0), 以 AB 为直
8、径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若0,则点 A 的横坐标为_AB CD 答案 3 解析 设 A(a,2a),则 a0. 又 B(5,0),故以 AB 为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0. 由题意知 C. ( a5 2 ,a) 由Error! 解得Error!或Error!D(1,2) 又0,(5a,2a),AB CD AB CD (1 a5 2 ,2a) (5a,2a) a25a0, (1 a5 2 ,2a) 5 2 15 2 解得 a3 或 a1. 又 a0,a3. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4(2018江苏淮安清江中学调研)如图,在ABC 中,BAC
9、120,ABAC2,D 为 BC 边上的点,且0,2,则_.AD BC CE EB AD AE 答案 1 解析 0,AD BC ,且 D 为 BC 的中点,BC30,AD BC 在 RtADB 中可求得 AD1,0,AD DE () 2 ,AD AE AD AD DE AD AD DE 1.AD AE 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 ab|a|b|cosa,b (2)当已知向量的坐标时, 可利用坐标法求解, 即若 a(x1, y1), b(x2, y2), 则 abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解 题型二 平面向量数
10、量积的应用 命题点 1 求向量的模与夹角 例 1 (1)在ABC 中, BAC60, AB5, AC6, D 是 AB 上一点, 且5, 则|AB CD BD _. 答案 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 如图所示, 设k,所以k,AD AB CD AD AC AB AC 所以(k)AB CD AB AB AC k 2 AB AB AC 25k561 2 25k155, 解得 k ,所以|3. 2 5 BD (1 2 5) AB (2)设向量 a,b 满足|a|2,|b|1,a(ab)3,则 a 与 b 的夹角为_ 答案 3 解析 由题意得 a(ab)a2ab 421cos
11、 42cos 3, cos ,0, . 1 2 3 (3)设向量 a,b,c 满足|a|b|2,ab2, ac,bc60,则|c|的最大值为_ 答案 4 解析 因为|a|b|2,ab2, 所以 cosa,b , a,b120. ab |a|b| 1 2 如图所示,设a,b,c,OA OB OC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则ac,bc,AOB120.CA CB 所以ACB60,所以AOBACB180, 所以 A,O,B,C 四点共圆 不妨设为圆 M,因为ba,AB 所以 2a22abb212. AB 所以|2,AB 3 由正弦定理可得AOB 的外接圆即圆 M 的直径为 2R4.
12、 |AB | sinAOB 所以当|为圆 M 的直径时,|c|取得最大值 4.OC 命题点 2 平面向量的平行与垂直 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量(6,1),(x,y),(2,3),且AB BC CD AD .BC (1)求 x 与 y 之间的关系式; (2)若,求四边形 ABCD 的面积AC BD 解 (1)由题意得(x4,y2),(x,y)AD AB BC CD BC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为,所以(x4)y(y2)x0,AD BC 即 x2y0. (2)由题意(x6,y1),AC AB BC (x2,y3)BD BC CD 因为,AC BD 所以
13、(x6)(x2)(y1)(y3)0, 即 x2y24x2y150, 联立Error! 解得Error!或Error! 当Error!时,(8,0),(0,4),AC BD S四边形 ABCD ACBD16; 1 2 当Error!时,(0,4),(8,0),AC BD S四边形 ABCD ACBD16. 1 2 所以四边形 ABCD 的面积为 16. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 利用公式|a|.x2y2 利用|a|.a2 (2)求平面向量的夹角的方法 定义法:cos , 的取值范围为0, ab |a|b| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 坐标法:若 a(x1,y1),b(
14、x2,y2),则 cos . x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 解三角形法:把两向量的夹角放到三角形中 跟踪训练 1 (1)(2018江苏无锡梅村高中模拟)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB2,BCD 是等边三角形,若1,则 AD 的长为_AC BD 答案 6 解析 取 BD 的中点 H,连结 AH,CH, 由BCD 为等边三角形,可得 CHBD, 由1,AC BD 可得()AH HC BD AH BD HC BD A ()()H BD 1 2 AD AB AD AB ( 22)1, 1 2 AD AB 可得 222426, AD AB 所以|.AD 6 (2)已知平面
15、向量, 满足|1, 且与的夹角为120, 则的模的取值范围是_ 答案 (0, 2 3 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 设在ABC 中,a|1,A60,|c, 由正弦定理得, a sin A c sin C 则c,即 csin C. asin C sin A 2 3 3 又 0sin C1,即 c 的取值范围是, (0, 2 3 3 则 的模的取值范围是. (0, 2 3 3 (3)设 a,b,c 是同一平面内的三个向量,a(1,2) 若|c|2,且 ca,求 c 的坐标;5 若|b|,且 a2b 与 2ab 垂直,求 a 与 b 的夹角 . 5 2 解 因为 ca,设 c
16、a(,2), 又|c|2,所以 5220,解得 2,5 所以 c(2,4)或(2,4) 因为(a2b)(2ab)0, 所以 2a2ab4ab2b20, 解得 ab ,即cos , 5 2 5 5 2 5 2 又 0,所以 . 题型三 平面向量与三角函数 例 3 如图,A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B,P 在单位圆上,且 B,AOB, ( 3 5, 4 5) AOP(0),四边形 OAQP 的面积为 S.OQ OA OP 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求 cos sin ; (2)求S 的最大值及此时 的值 0.OA OQ 解 (1)B,AOB, ( 3 5, 4
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